宇宙飞船的速度极限

昨天晚上看见一篇文章《天上一日，地上一年: 克鲁格曼的星际贸易理论》，文中提到经济学家、诺贝尔奖获得者克鲁格曼教授研究星际贸易，利用时间膨胀来搞投资：只要宇宙飞船足够快，飞船里的一天相当于地球上的一年。飞船要有多快呢？需要达到光速的0.999996245倍。

问题是这样的速度能否达到？

先作最简单的估算：假设宇宙飞船加上宇航员总共有1吨重。达到0.999996245c 需要的能量 =（gamma – 1）* mass * c *c, where gamma = 365 (因为飞船的一天相当于地球的一年，365天，时间膨胀系数 gamma = 365)。这样算出来的能量是3.28 *10^22 焦耳，大约相当于地球上人类60年消耗的能量。

但这个估算极不准确。要产生这么多能量，相当于纯减少364吨质量。如果用已知的最高效的核聚变燃料 D+3He –> 4He+n, 每一吨核燃料只能减少3.6公斤质量。因此推进飞船的火箭至少得要载有10万吨核燃料。

但是10万吨核燃料只够将没有装载燃料的飞船加速到那个速度。现在飞船和火箭里的10万吨核燃料需要同时被加速（一边加速一边抛弃用过的核燃料），10万吨核燃料就远远不够了，并且最终能达到的速度取决于火箭的推进方式。

目前的火箭通过排放的尾气来推进。火箭的最大速度 = v0 * Ln (m0/m1), where m0 and m are the total mass and the payload mass, respectively, and v0 is the exhaust gas velocity. Ln 是自然对数。

采用化学燃料，v0 最多可以达到 5 km/s, ；而用核燃料的话，理论上限是 5000 km/s , 实际上目前只达到了约 20 km/s。美国、苏联（俄罗斯）、英国、以色列、意大利都进行过研发，但还没有成功地研制出可以实用的 nuclear-thermal rocket。

即使用理论上限 v0 = 5000 km/s, 用10万吨核燃料推进1吨的飞船，不考虑相对论效应，飞船最终只能达到 57,565 km/s, 低于光速的20%。考虑相对论效应的话，即使使用1亿吨核燃料，也不能将飞船加速到光速的90%。

更好的技术是光子驱动火箭（photon rocket），使用正反物质湮灭，让质量 100% 变成能量。假设有无穷多的正反物质可以用，宇宙飞船的理论速度极限是多少？

忽然发现这是一个 well-defined and meaningful problem, 如果没人算过的话，我可以发一篇SCI论文，并且计算不是太困难。遗憾的是，上网一查，有人在2017年做过这样的计算：

The ultimate limits of the relativistic rocket equation. The Planck photon rocket

这篇文章是 open access, 可以直接下载阅读，计算结果是 0.99999999999999999999999999999999999999705 倍光速。作为对比，目前世界上最大的粒子加速器可以把质子加速到99.99999974%光速。一个宇航员坐在这样的飞船里，一天相当于地球上多少年？答案是2*10^18年，而宇宙的年龄只有1.4*10^10 年

有趣的是，这篇文章的作者，Espen Gaarder Haug 教授，不是物理学家，而是一位经济学家，teaching quantitative finance at the Norwegian University of Life Sciences.

2021.02.19