一
四十年前，当时还是大学生的我第一次接触到二十世纪大数学家、逻辑学家哥德尔(Kurt Godel，o上面应当有两点，此处无法标出)的两条不完备定理，感到了震撼。在此之前我还不知道作为精密科学的工具 — 数学，其基础竟然存在如此严重而且无法弥补的缺陷。青少年时代受教育而形成的对人类认识、理性、程序性方法、决定论（尤其是历史决定论）的乐观主义，甚至可以说是信仰，在哥德尔不完备定理的冲击之下，在我思想中不再神圣。和相对论、量子力学一起，它成了促使我最终打破思想禁锢、得到精神解放的力量。
在那以后，我经常在学界朋友中介绍哥德尔和他的思想。但这类介绍不容易得到他人的相应。理由也不复杂：数学上的两条定理，无论无何重要、伟大，对接触数学不多的人来说，也难以体验到它们对人类精神领域的冲击。何况，光是解释一下定理的内容，已经是够枯燥的了。
在CND上，我多次提到过它们。也受到网友的鼓励，写一点介绍性文章。然而困难很明显：如果单纯陈述一下两条定理的内容以及数学-科学-哲学界对它们的认识与评价，而不介绍其证明，那就和陈述两条哲学命题差不多了。数学定理离开了证明就难以显示其力量。就如对一个从未听说过苹果的人说An Apple a day, keeps the doctor away, 人家就有个模糊印象，有一种叫苹果的水果，吃了有益健康；对苹果的形、色、香、味依旧茫然无知。
要介绍证明呢，那太困难了。且不谈大量的背景知识、独特的表述方式和逻辑，光是标示数学上的“指数”就脑袋发胀(CND编辑器不支持上下标)，而哥德尔定理的证明，离开指数也就等于一无所有了。
这真是两难。
但两难归两难，不自量力还是要试一试。考虑再三，本文将限制在仅简介下列内容：
1. 哥德尔不完备定理提出的背景、研究对象和内容；
2. 定理的证明思路，其独特的方法。我还是坚持用自然语言陈述，避开数学公式。这样自然精确性、严密性都不用提了。这就如我画一个苹果的素描，只能让人知道苹果的大致形象。要知道其色、香、味，那还得去读原著或介绍性著作。这方面著作很多，我会介绍几种并略加评论。
3. 各界对两条定理的理解、评价。
二
众所周知，二十世纪大数学家希尔伯特(David Hilbert)曾经在1900年提出数学上尚未获得解决的23个问题，引得全球几代数学家耗费了艰辛的努力，甚至毕身投人，去寻求答案。不止如此，他更想达到的目标是为全部数学提供一个可靠的基础。这个基础应该包括：所有数学形式化，即使用形式化的语言，从公理出发的全部演算仅仅是符号的推理，不考虑其语义、内容；其次，要求从定义、公理出发，根据规则，数学里所有的真命题都可以被证明，这就是完备性；运用这一套形式化和它的规则，不可能推导出矛盾，即同时是真又是假的命题，这就是相容性(compatibility，又译为一致性、自洽性)。而且，应该有一种算法，以有限的、程序性的步骤来确定每一个形式化的命题是真还是假。这个设想被称为“希尔伯特方案”(Hilbert’s Program)。
这些对数学来说，好像是天经地义的，似乎也不是什么做不到的事情。有欧氏几何的成功例子在，数学家只需要时间来完成这个基础。
然而，1931年，年方二十五岁的哥德尔发表了两篇论文，提出两条定理，无可辩驳地证明，这个目标无法实现：
哥德尔第一不完备定理：在一个足够强的算术系统内，如果这系统是完备的，那么一定存在不可判定的命题，即不相容；如果是相容的，则一定不完备。
哥德尔第二不完备定理：一个形式系统如果是完备的，其相容性在本系统内不可证明。
这真是晴天霹雳！
要注意，这两条定理有严格的限制性条件。
首先，这个系统必须是形式的、足够强的。哥德尔所针对的系统，就是罗素(Bertrand Russell)和怀海特(Alfred Whitehead)耗费十年之久写出的巨著《数学原理》(Principia Mathematica)所建立的系统。不过，哥德尔自己认为，数学界也同意，虽然他的论文针对的是那个系统，他的两条定理对所有形式系统都适用。
其次，要注意“在本系统内”这一限制条件。比如第一定理说，存在不可判定的定理。这并没有说那定理绝对不可判定，而是在本系统内不可判定。比如说，我们把那个系统称为A，把那条不可判定的定理，我们姑且称为s, 作为公理加到A上去，那不是没有不可判定的问题了吗？
确实，在这个A+s, 比A还要强一些的系统中，s不再不可判定。然而，新的系统又将出现自身不可判定的命题！哥德尔定理依然成立。
同样，第二定理的“相容性”无法证明，也是“在本系统内”不可证明，在更强的系统中当然可以证明。不过更强的系统自身的相容性还得到再强一些的系统中才能证明。很显然，这就成了没完没了的无穷倒退！
三
读到这里，可能有些读者已经感觉枯燥无味。下面要简介哥德尔第一定理的证明思路，那就更抽象、更枯燥了。因此，对证明不感兴趣的读者，请跳过这一节而直接读第四节。
哥德尔定理的证明，用Rebecca Goldstein的话说，是“证明策略简单，细节则十分复杂”( Goldstein 2005，p.67)。
首先，哥德尔需要用一组符号来表达一个强的算术系统。上文说过，就是罗素-怀海特《数学原理》的系统。令人惊异的是，哥德尔仅仅用了12个常量，9个变量！这么少的符号就能表达罗素-怀海特三大册巨著的内容？是，原则上可以，但无人会真的去做，因为符号少了，表达就必然复杂，复杂得难以想象。比如说，常量中的数字只有一个0，如何表达自然数？办法是常量中还有一个表示“直接后继”的符号s，意义一看就懂：s0表达0的直接后继数1。以此类推，ss0为2, sss0为3，等等。可以想象，如果数字大到成千上万，那该有多长。因此请不要考虑“可操作性”问题。数学证明只考虑原则上是否可行。
其次，哥德尔需要一套方法来将一个算术系统中所有的公式编码。请注意，不仅是总共21个常量和变量，而且要将所有由这些量组成的公式全部编码。这里，就表现出哥德尔的天才。
他为每个常量或变量指定一个数，称为“哥德尔数”(Godel Number)，12个常量的哥德尔数就是1-12，9个变量的哥德尔数分别是13，17，19以及它们的平方、立方。
然后就可以编码了。他的编码方法被称为“哥德尔编码(Godel Numbering)”。每个符号都有了哥德尔数，比如0的哥德尔数是6，=是5，那么公式0=0是不是就编码为656？不是，下面要解释为什么这样编码不行。
哥德尔编码是，用素数2，3，5，7，9，11……来表示符号的在公式中的顺序，而用符号的哥德尔数作为其指数。因此，0=0，第一个位置上是0，0 的哥德尔数是6，因此在这个位置上的0就是2的6次方，根据同样原则=是3的5次方，第二个0 是5的6次方，这个公式的哥德尔编码就是它们的乘积: 2的6次方乘3的5次方乘5的6次方，这个数是243,000,000。这就是这条公式的哥德尔数。
这么简单的一条公式就得用这么大的数字来编码，那么复杂的公式用上了13次方，17次方甚至19次方，不是大到一个编码要写上几十页纸？
没有错，是这样。再提醒一下，不要考虑可操作性，没有人真的去做这样复杂的编码，这只是原则上可行的方法。
那么，为什么用这种方法？理由是，依据一条“正整数的唯一分解定理”(Unique-Prime-Factorization Theorem): 每个大于1的自然数，要么本身就是素数，要么可以写为2个或2个以上的素数的积，这些素数的因子按大小排列之后，写法仅有唯一一种方式。
不难想象，只要知道0的哥德尔数是6，= 是5，从243,000,000可以唯一恢复为64乘以243乘以15625，进一步恢复为2的6次方、3的5次方、5的6次方，最后恢复为0=0。显然，单纯以哥德尔数来代替哥德尔编码，比如以656来编码0=0，就不具有唯一可恢复性。
这样，有了一套可以表征一个算术系统的符号、有了一种编码方法，可以将那个系统每一个的公式都编码成一个整数，而且这个整数可以唯一地恢复为原有的公式。哥德尔又定义了一系列规则。下面是他的少部分定义，对下文必不可少：
(1) 定义31 替代(x, v, y)
其中v是一个变量。意思是用y替代公式x中的v。大家已经明白，这里的x，v和y, 都是哥德尔数。当然，替代之后仍然得到一个哥德尔数。
(2) 定义45： 证明(x, z)
意思是公式x是公式z的一个证明。再提醒一下，x和z也都是哥德尔数。
(3) 定义46： 可证(z):(存在一x) 证明(x, z)
意思是“存在一哥德尔数x，x是哥德尔数z的证明”。更简单的陈述是“哥德尔数z可证。”比如说，上文我们有公式0=0, 编码为243,000,000。因此
可证(243,000,000)
当然为真。
有了可证，当然也就有不可证。加一个逻辑否定词，则有
(4) 不可证(z)，
简单就表示哥德尔数z不可证。
我们需要将定义(1)具体化，比如说，有
(5) 替代(y, 17, y), 大家知道，这条公式表示“用y来替代公式y中的哥德尔数17”，在哥德尔的证明中，y的哥德尔数就是17。
读者可能感觉这一替代很奇怪。请记住，我们只需要考虑一公式是否合乎系统的规则，无需考虑其意义。何况对一个完备的系统来说，(5)一定是其中的一条公式。
然后用(5)替换(4) 中的z，就得到
(6) 不可证(替代(y, 17, y))
意思是“用哥德尔数y替代公式y中的变量17, 不可证”。这是一条形式命题，包含变量，无所谓真假。请务必记住17 恰好是y的哥德尔数，这一点在证明中非常关键。当然这个命题仍然是一个哥德尔数。这个数(在哥德尔的系统中，逗号“，”，括号“（”，“）”都是常量，也有其哥德尔数。因此这个哥德尔数大得惊人。但我们不必为此担心，因为无人真的去做编码操作)，我们暂且将之命名为n, 然后再一次运用规则，用n (也就是公式(6)的哥德尔数) 来替代y, 得到：
(7) 不可证(替代(n, 17, n)), “用哥德尔数n替代公式n中的变量17, 不可证”。
为清楚起见，我们把这个公式命名为G:
(8) G =不可证(替代(n, 17, n))
这时，得到的公式已经没有变量，有确定的意义了。
请注意思考一下，从(6)到(7)，我们作了什么运算？我们正是运用了替代，以n代替了n 中的变量y，即把n中所有的17(y的哥德尔数)，以n代替。因此G等于是说，
(9) G = 替代(n, 17, n)
然而，麻烦就此出现：(7)说“替代(n, 17, n)不可证”，然而(9)告诉我们，G又等于“替代(n, 17, n)”，于是
(10) G =不可证(G)
这个G，一个以哥德尔数表征的公式，是真是假？
如果G无法证明，它必然为真，就是(8)所陈述的。真的公式不能证明，那么系统不完备；如果可以证明，那么我们就能证明一个不可证明的假公式，系统不相容。
这个结果后果严重，因为，如果一个系统能够证明一个假公式，整个系统就会包括无穷的假公式。比如说，“存在一x，x=x+1”显然是假公式。如果这个假公式在一系统中可证，很容易看出从它可以递归推出无穷的假公式，如x=x+2， x=x+3, ……， x=x+n。
再一次提醒，上文仅仅是哥德尔证明的粗略、简单、完全不具有严密性因此很容易挑出漏洞的陈述，而且形式上也没有用他原来的表达(显然，哥德尔不懂汉语，是不会用“替代”“可证”这些词的)。哥德尔的原始证明，不同的英语译文，有35页左右；最简单、明白的解释性著作，用了48页(Nagel et al );详细的则用了300多页！我这两千字就是如上文所述，是用三五笔画一个模糊的苹果线条而已。
读到这里，有读者会要提出疑问：何必绕这么大的圈子去证明？从古至今不是就有一系列悖论(paradox)来显示表达上的困难？比如“说谎者悖论”：“这句话是谎言”不就表示了类似的道理吗？
不能说读者这样理解就错。但严格讲来，“这句话是谎言”不是悖论。为什么？
我们来分析一下，“这句话是谎言”是关于“这句话”的一个判断，而不是“这句话是谎言”的判断。前者作判断的工具是语言，这里是汉语；后者则不能在同一层次上、用同一种工具来判断，必须用“元语言”(Metalanguage)，比如说“‘这句话是谎言’是对的”就是用元语言来判断语言“这句话是谎言”。如果真的做语言分析，为了不致混淆不清，不管用哪种自然语言还是形式语言，英语还是汉语，两个判断必须要用不同字体来做区别。也就是说，自然语言在同一层次上是无法讨论自身的。
哥德尔的创造性，就在于他运用哥德尔编码，成功地使得语言能够讨论自身，最终导致了自我相关。
这里要指出，哥德尔是数学柏拉图主义者，认为数学的概念、公理、定理都是客观存在的“理型”(Form),因此他并不认为是他“创造”了这两条不完备定理，而是“发现”了它们。
四
晴天霹雳之后，数学-科学-哲学界对他的发现是什么态度？
首先看希尔伯特的反应。他很快就得到了哥德尔的研究结果，第一反应是恼怒。然而冷静下来之后，他很快承认哥德尔的证明是正确的。毕竟是大数学家，对“真”的追求超过了一切，绝无文过饰非、强词夺理、或者利用他掌握的学术资源、纠结同党反击、把后辈打翻在地这类学术界常见的把戏，虽然他为数学建立一个坚实基础的努力，已被证明永无实现的可能，他对人类认识无限的信念遭受了沉重打击，毕身的期望就此落空。
冯.诺伊曼(John von Neumann)则立刻给以热烈的支持，认为哥德尔打破了他的迷梦—他想做而未能成功的事情：证明希尔伯特方案，一劳永逸地结束了。
另一数学-逻辑大师策梅洛(Ernst Zemelo)，当时已经60岁，刚刚从精神病发作中恢复正常。他误解了哥德尔的思想，对哥德尔的研究不以为然。一度还以“不喜欢哥德尔的长相”为由拒绝与哥德尔见面(其实从照片上看，年轻的哥德尔称得上英俊)。维特根斯坦(Ludwig Wittgenstein )则在他的著作和谈话中表现了敌意，其实也是没有弄懂。
对这两条不完备定理的认识，数学-科学-哲学界有不少分歧。
无分歧的是，各界一致认定，曾经被数学-科学一直在使用的形式化、程序化的研究方法，有着不可克服的局限性。另一位天才数学家、计算机理论创始人之一阿伦.图林(Alan Turing)受到启发，发现了著名的“图林停机问题(Turing Halting Problem)不可判定定理”，使得利用计算机解决一切问题的信念破灭了。
一部分科学家，如物理学学家戴森(Freeman Dyson)、霍金(Stephen Hawking)、科学哲学、科学史家贾奇(Stanley Jaki)则认为，哥德尔不完备定理是人类理解宇宙的根本障碍。这部分内容作者已经在“从一个简单却不可判定的问题说起”一文中提到过，此处不重复。
另一部分科学家，以英国的数学物理大师级人物彭罗斯(Roger Penrose)为主，提出哥德尔定理和图林不可判定定理证明强人工智能(Strong AI)无法在目前的计算机上实现。彭罗斯认为，形式化、程序化的方法不能够囊括(encapsulate)人类的理解。他提出“人类数学家不用一已知是完好的算法来确证数学上的真命题。”因此，人类的思维一定有一些方面，是作为一种算法机器的图林机或者通用计算机所不具备的。彭罗斯认为这是无可避免的结论。
彭罗斯的这一观点，引起的学界的激烈的争论，至今没有定论。作者自己认同彭罗斯的结论，但也发现彭罗斯的论证有一个漏洞，但不难修补。
著名的数学家霍夫斯塔德(Douglas Hofstadter, 他有个中文名字，叫侯世达)认为，哥德尔定理的揭示了“自我相关”问题。由于这样的问题存在，人的思维可能无法被彻底研究清楚，因为人类是以思维研究思维，无法避免陷入自我相关。
另外，有人认为哥德尔证明了《圣经》、美国宪法，后现代主义等等。那都是无稽之谈。作者看不出在这两条定理和《圣经》及美国宪法之间如何建立逻辑关系。哥德尔倒是用逻辑证明过上帝存在的必然性。仔细看看他的论证，如果接受他关于上帝存在的五条公理，整个推理无懈可击。(王浩 1995，中译 p.244)
关于美国宪法，哥德尔倒是仔细研究过，结论是“会导致独裁”，并且在他入美国籍时企图对法官阐述一番。幸亏在场的两位好友，也是他入籍的介绍人(当时入籍要介绍人)爱因斯坦和经济学家摩根斯坦(Carl Morgenstern)赶紧拦住他，才免得节外生枝，给入籍造成麻烦。
至于说证明了后现代主义理论，作者还在等待后现代主义者们拿出让我信服的逻辑来。
在数学界之外，很多外行认为这简直就是在玩弄语言游戏嘛！数学界却认为，不是，这是扎扎实实的数学定理，其证明无懈可击。而且从这两条定理出发，又有一系列其他不可判定的数学定理被发现、证明。
外行又有一种看法：这是对数学研究的沉重打击。数学界认为，不是。数学家们从未因这两条不可判定定理而停止、放慢其研究，只是对数学本质的认识上深化了，因此对数学在人类知识上可能达到的深度，有了清晰的认识。
真正的启示是：我们永远不要幻想在一个坚实、毫无瑕疵、不可动摇的基础上来认识宇宙。如果认为人类知识是永远开放的，这一点就不构成对人类认识的悲观、虚无主义，倒是提醒我们自己面对着浩瀚的宇宙，人类所需要的永远谦卑。
还有，程序性方法的致命缺陷，使得任何种类的决定论，当然包括历史决定论，都不可靠了。
五
最重要的是哥德尔自己的态度。对他自己发现的两条定理，他曾经说过，“结论无可避免的是下面两者之一：或者数学在这个意义上是不完备的，它的明显公理永远不会由一个有限的规则组成，也就是说，人类的思想(即使在纯数学领域内)也无限超越任何有限的机器的能力，或者存在这一类型的绝对无法解决的丢番都问题(Diophantine equation)…..” 。丢翻都问题，即希尔伯特第10问题，已经由马蒂雅谢维奇(Yuri Matiyasevich)等证明，不存在一种算法来判定是否有解。那么哥德尔是不是就认为存在绝对无法解决的数学问题了？
不一定。因为他认为“人类的思想(即使在纯数学领域内)也无限超越任何有限的机器的能力。”也就是说，人类的非形式、非程序化的思维将超过机械性思维，或能解决这些问题。他又是如何论证的？
他没有论证，但有一种信念，匪夷所思。
他认为人并非只有一世的生命，存在转世，而且通过转世，知识会一辈子接一辈子的积累。“我们必须设想大部分的‘学习’在来世才第一次降临。”(王浩，中译217)请注意，他把“学习”打上引号，是他认为所有的数学知识、自然科学知识都是先验的(类似的话，其实早在康德的《纯粹理性批判》中就已经说过)。这就好像乔姆斯基(Norm Chomsky)认为语言结构是先验的，因此不同意语言是通过学习而得， 而是“习得”(acquisition )的过程一样。不过，当哥德尔对乔姆斯基说这番话的时候，这位半个多世纪来一直在忙于论证人类语法结构先验性的语言学大师，还是吃了一惊。真没想到哥德尔比他自己走得太远太远。
但最终哥德尔还是认为，“我们没有任何绝对确实的知识”，“言外之意是，哪怕是极其简单的事情，我们也无绝对把握说自己完全捕获了堪称终审法庭的客观实在。”(王浩 1995，中译 p.365)这一立场，已经和霍金等的观点一致。
想起那些动不动就声称掌握了宇宙真理、强迫他人接受、以“真理”的名义堂而皇之、心安理得地去压迫与杀戮他人的个人与团体，我只有一句话的评价，“无知得不够资格为人。”
六
2016年五月二十八日，我到普林斯顿大学去作“朝圣之旅”，去看一看对我一生有重大影响，给我最大启示和助力，使我从专制理论中解放出来的几位大师的故居。
瞻仰了爱因斯坦和冯.诺伊曼的故居之后，开车到了Linden Lane上的哥德尔故居。普林斯顿的名人故居并没有作为纪念馆而保存，都早已有了新主人。主人们大概因来访者多而不胜其扰，大都将门牌隐蔽起来。如果不用GPS引路和用老照片对照，很难找到。
这是一栋一层平房，和富翁冯.诺伊曼的豪宅相比，显得平常甚至寒酸。1949年哥德尔用了$12,500美元买下，别人都说买贵了，不合算。哥德尔则认为房子简直大得不得了，可以开50个人的舞会。
如今，房子的外观与77年前的照片相比，没有多少变化。门口台阶上的铁栏杆还在，大门外左侧仍然种着花，窗户则已经换过了。多出来的是门口停着的一辆红色的大众轿车。
五月底的普林斯顿已经比较炎热了。中午的阳光直照我身上，无遮无挡，弄得我汗流浃背。路上则看不到一个行人。
正在犹豫是不是要冒昧去敲敲门，与现在的房主聊几句。忽然，街对面平房的门开了，走出来一个二十来岁的年轻人，弯腰扶起倒在地上的自行车准备外出。
我向他打了个招呼，“年轻人，你知道这是谁的故居吗？”
年轻人腼腆一笑，想了一下，说，“听我妈说过，好像是一个什么数学家住过的吧？”说罢，道了声Bye, 上车扬长而去。
唉，比较起爱因斯坦、冯.诺伊曼，哥德尔的事业太寂寞，太不为公众所知了。连他在奥地利做医生的亲哥哥鲁道夫(Rudolf)，也是在他成名二、三十年后，才知道弟弟是数学界的顶尖人物。他一生受饱精神病折磨(据说五岁即被发现有轻微抑郁症)，经常怀疑食品、冰箱、空调有毒，时不时因怕中毒而拒绝进食，最后死于极度营养不良；作为一个大师级人物，他求职竟然也不顺利。在他发表了震惊学术界的不完备定理之后，在德国、奥地利连申请一个“无薪讲师”的职位也要大费周折；在普林斯顿高等研究所，也得等待多年才获得终身职；他不善交际，一生只有爱因斯坦、贝纳斯(Paul Bernays)、冯.诺伊曼、摩根斯坦等少数友人。这些友人都先他而去，使得他晚年十分寂寞，不得不把丰富的思想埋藏到内心。晚年他能够交流、愿意交流的人，只剩下王浩等个别人。和他厮守终生、相依为命的妻子阿黛尔(Adele)，没有受过多少教育，年纪比他大六岁，还离过婚，当过舞女，因此不为哥德尔家人待见，更进不了普林斯顿教授太太们的社交圈子，因此大半生为丈夫不得不在一个不友善的环境中忍受白眼。
他的一生幸福吗？我不知道。
我知道的是，他在精神领域所做的一切(虽然按照论文的数量，一辈子总共就发表过300页左右)，人类历史上只有少数人可以与之同列。虽然他的发现不如相对论那样为公众所知，却使得数学和其他学科的研究有了更为可行的目标与期望，并且通过影响知识界在各自领域的研究、探索而造福社会。他的理论是人类数学-科学思想中的一颗明珠。就如我从自身经历所体验到的一样，数学-科学思想，永远是人类精神解放的利器，因此也永远是专制的死敌。
当他二十五岁发现两条不完备定理的时候，他怎么会想到，这种纯粹数学-逻辑的发现，却帮助了一个在专制压迫中挣扎的年轻中国人最终打破思想牢笼而获得精神自由？
他的发现所折射的，难道不正是自由的精神？
2020年六月二十日
参考文献：
包括哥德尔的传记性、哲学性和哥德尔定理证明的最基本文献。有本文作者的简短评价。
Dawson, John(1997). Logical Dilemmas: The life and Work of Kurt Godel. A K Peters
中译《哥德尔：逻辑的困境》唐璐 译，湖南科学技术出版社 2009
作者本人就是逻辑学家。这是哥德尔权威的传记。本文有关哥德尔的事迹都来自这本书与下面王浩的著作。
Nagel, Ernest; James R. Newman (2005). Godel’s Proof, revised edition. New York University Press.
中译 《哥德尔的证明》(因使用了不完整的电子本，不知译者与出版社)。
此书初版与1958年，曾被译为多国文字。本书是介绍哥德尔定理最简单、扼要的一本书。本文的简要介绍就是基于这本书。另一大家侯世达在少年时就读了这本书，引起他对数学、逻辑的浓厚兴趣。后来写出名著Godel，Esher, Bach: An Eternal Golden Braid(中译《哥德尔、艾舍尔、巴赫：集异璧之大成》)。
Goldstein, Rebecca(2005). Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Godel, W. W. Norton Company.本书介绍背景知识很扼要, 文笔优美。
Wang, Hao (1995). Reflections on Kurt Godel, The MIT Press. 中译《哥德尔》，康宏逵 译， 上海译文出版社，2002
王浩是哥德尔研究权威，是少数与晚年哥德尔交流的人。他曾在上世纪七十年代与哥德尔有过多次交谈、交流，而且在哥德尔身后研究过哥德尔的遗稿。这部书对哥德尔思想发展，尤其是其哲学，有广泛的介绍与讨论。中译者也是逻辑学家。但译本有漏译之处，而且有些译名亦很奇怪，比如为什么把idea译为“计谋”？不懂。