引力波与潮汐

王令隽

2016年3月

            我在《对最近LIGO实验组探测到引力波的质疑》一文中提到潮汐就是引力波，一些朋友对此将信将疑，希望我能阐述得更详细清楚些。也好，把这个问题说清楚了，以后讨论其他问题会更方便。

首先提出引力波的确实是爱因斯坦，根据就是他的引力场方程。我在《广义相对论百年》一文中从多方面详细地分析了这个方程的诸多根本问题，证明了它在普遍情况下是不成立的。从一个不成立的方程推出来东西，即使偶尔说对了，也不能掩盖理论整体上的不自恰，不足以证明整个理论的正确。不过，我们现在的焦点不在讨论引力场方程本身是否成立，而是另一个问题：潮汐是不是引力波？所以，我们不妨看看如何从爱因斯坦的广义相对论得到引力波的结果。

爱因斯坦的场方程简言之就是：爱因斯坦张量等于能动量张量乘以一个常数。在真空中，能动量张量等于零。在这种特定条件下，爱因斯坦的场方程就成了比较简单的齐次方程。其形态和经典的波动方程非常相似。其微分算符都是达朗贝尔微分算子，只不过被作用的对象不一样。经典的波动方程中的函数是位移或者场强或者势函数。爱因斯坦的波动方程中算符的作用对象是二阶张量，所以比较复杂一些。但是，因为算符都是波动方程的算符，所以他们的解都包含一个完全一样的正弦时变因子。对波动方程比较熟悉的朋友一定知道这个正弦函数的自变量就是圆频率乘以时间减去波数矢量与位移矢量的点积。圆频率除以波数就得到波速。经典的电磁波理论得到的电磁波的速度就是光速。广义相对论从狭义相对论中继承了光速。也就是说，爱因斯坦认为引力波的速度也是光速（这点倒是对的）。

有了时变的正弦因子，再乘以一个振幅，就是标准的经典行波函数了。可是因为爱因斯坦的场方程是对称的二阶张量方程，所以这个“振幅”不是经典物理中简单的振幅，而是一个对称二阶张量，称为“极化张量”(Polarization tensor)。对称的二阶张量通常有十个独立分量，可是因为度规约束，只有六个分量是独立的。不过，六个分量也太多了，因为一个物理上实在的平面波是横波，只有两个独立分量，所以爱因斯坦的极化张量中有四个分量是没有物理意义的“幽灵波”(ghost waves)，他们不携带任何能量和动量。也就是说，爱因斯坦将经典波动方程复杂化成张量方程所额外收获的只不过是一些毫无物理意义的幽灵波而已。

横波的两个极化分量代表着两个线性的极化方向。如果将这两个方向的极化矢量做适当的线性组合，就可以得到两个相互独立的圆极化波函数，它们具有角动量。两个圆极化波的角动量方向不同。一个角动量方向与波的传播方向一致，具有正的螺旋方向（positive helicity）；另一个的角动量方向与波的传播方向相反，具有负的螺旋方向（negative helicity）。

可以证明，圆极化引力波的角动量等于2乘以能量除以角频率。这就是理论家们认定引力子的自旋等于2的理由，也是引力场很难被数学家们“统一”的原因之一。 这里理论家们又人不知鬼不觉地偷换了极化旋转的概念。在经典电动力学和物理光学里，真空中传播的电磁波的极化方向是不会旋转的。只有当电磁波通过某种特定的光学媒质时，其极化方向才会被媒质逐渐改变（旋转）。这种旋转是电磁波与媒质的相互作用的结果，是连续的，而不是跳跃的，不是量子化的。可是20世纪的理论家们将行波与媒质的相互关系偷换成“光子”和“引力子”本身的基本特性，认定为这些“粒子”的“自旋”，并强行将其量子化。

让我们暂时忘记这些理论问题，回到引力波的讨论。如果一个引力波源在做周期性的运动，它就可以通过引力波将波源的周期性变化传达到远处，使远处的物体感受到这种变化，其变化周期也就是引力源的变化周期。这种作用实际上就是潮汐力。读者们如果对细节有兴趣，可以参看一些广义相对论教科书。比如奥哈尼安的《引力与时空》（H.C. Ohanian, Gravitation and Spacetime, W.W. Norton & Company INC., New York, 1976. ISBN 0-393-09198-8.）。这本书的第四章专门讨论引力波，第147-149页有引力波造成的潮汐力对远方物体造成的形变的示意图。

如果对广义相对论不太熟悉，能不能从经典物理的角度来了解引力波呢？当然可以。事实上，把广义相对论带来的“幽灵波”剔去，并且抛掉所谓的引力子自旋的概念，剩下的就只有经典的引力波，也就是具有物理意义的两个极化分量。有物理意义的引力波就可以通过经典物理来理解。让我们从高中物理的电学开始。

大家都熟悉静电感应现象。我们可以作这么一个静电感应实验。在一个长桌的一端放两个用绝缘棒固定在一起的金属球，构成一个水平的哑铃。哑铃可以围绕绝缘棒的中心水平旋转。两个金属球接到电池的两极，所以一个球带正电，另一个带负电。在桌子的另一端沿着桌子的中心轴线放一个水平的金属捧。这个金属棒中的电荷会因为桌子那头的金属哑铃所带的电荷和位置而重新分布。如果哑铃的带正电的一端朝向桌子另一头的金属棒，那么金属棒离哑铃近的一端就会带负电，离哑铃远的的一端就会带正电。如果我们将哑铃旋转180度，让带负电的球朝向金属棒。这时金属棒离哑铃近的一端就会带正电，离哑铃远的一端会带负电。如果哑铃不停地旋转，金属棒的两端的电荷也会以同样的周期来回震荡，这就是接收到的电波信号。如果你的设计足够灵敏，而且哑铃的旋转频率在声波范围之内，可以将信号放大成可以听到的声波信号。如果你不让哑铃均匀旋转，而是用手操纵它以长短不同的周期转动，可以用它发送莫尔斯码。这当然是非常粗糙的无线电通信，传不远的。为了达到真正有效的无线电通信，必须改善发送和接受设备，比如说，将哑铃和金属棒改成偶极子天线（早期的特务们都必须架设很长的天线）。电波的频率也应该提高（长波通讯的频率要几万赫兹）。高频率的电磁振荡已经不可能通过机械旋转哑铃的办法达到，而是用电子振荡器来实现。但是，这一切都只是技术的改进，物理本质是一样的。另一方面，如果频率提高，波长就缩短了（长波波长只有几十米），通讯距离（几十公里到几千公里）比波长长得多，磁场强度也非常高了，因此不能只用静电感应来处理，而必须通过求解麦克斯韦电磁场方程来定量处理。

有了这些准备，我们就可以来讨论引力波的问题了。万有引力和电磁力不一样的地方是，它只有引力没有斥力。质量也只有正的。没有负质量。（最好别提20世纪理论物理中的负质量概念，那都是胡诌。）尽管如此，我们还是可以用类似于上面的哑铃和金属棒实验来理解引力波的传播。只不过，我们要将实验室的长桌子换成宇宙空间，也就是说，我们的桌子的长度是天文数字。至于哑铃，可以是一个互相旋转的双星系统，而且为了讨论方便，不妨假定我们的地球就在双星系统的旋转平面上。为了简单起见，我们假定两个星的质量相等。

因为双星系统的旋转，它对地球的引力也会周期性地变化。当这两个星星和地球三点成一线的时候，其引力比较大；当连接双星的旋转直径D垂直于连接双星和地球的直线L时，引力较小。两个位置引力的相对差等于 (D/L)的平方乘以1.5。如果地球上有足够灵敏的仪器，应该可以测量到这个旋转的分量。信号的周期就是双星旋转周期的一半。

当然引力源不一定非要等质量的双星系统不可，比较复杂的系统也可以产生时变的引力波信号。比如说，太阳系或者木星与它的卫星都是时变引力源。而且这些引力源离地球非常近，引力波信号非常大，很容易测量甚至观察。海洋潮汐就是人人都可以观察到的引力波信号。这里有点特别的是，地球上的观察者不是远离太阳系，而是置于旋转的太阳系之中。这丝毫不改变潮汐是引力波的事实。

可是，我们在理论力学里面处理潮汐问题时，从来不用波动方程，而是用牛顿的引力公式，结果非常好。为什么呢？因为引力波从太阳和月亮传到地球上的时间比引力波的周期短得多。引力波的传递“几乎”是瞬时的。产生潮汐的引力波的周期是地球自传周期的一半，12小时。光波或者引力波从月亮传到地球只需1.3秒钟，等于潮汐周期的4万3千分之一。从太阳到地球的距离远一些，光波和引力波传到地球需要8.3分钟，等于潮汐周期的86分之一。从另一个角度来理解，就是从月亮太阳到地球的距离大大小于引力波的波长。周期12小时的引力波的波长等于130亿公里，相当于从太阳到地球距离的86倍，从月亮到地球距离的4万3千倍。所以，引力波几乎是瞬时到达地球，因此可以忽略时变因子，而只用牛顿万有引力公式就够了。

理论上，月亮造成的潮汐的最大振幅是36厘米，太阳造成的潮汐的最大振幅只有16厘米。可是，我们看到的钱塘潮却可以高达三四米。这是因为地球在不停地转动，因此潮汐的波峰也被拖着由东往西走。如果正好在这个纬度有一条从西往东流的三角形河口，平坦的海洋潮汐就会被逼进越来越窄的河道而变得越来越高。钱塘江就是这样一条幸运的河流，杭州湾就是这样的一个巨大的朝向东方的河口。海潮被逼到海宁盐官时，就形成高达几米高的钱塘潮。密西西比河南北走向，就不会有放大了的潮汐。

潮汐的周期为什么不是24小时而是12小时呢？直观地说，正对着月亮的地面离月亮比较近，引力比对地心的平均引力要大，因此水面会突出出来；背对着月亮的一面离月球相对地远，所以引力比平均引力小，这等价于在平均引力上加上一点“斥力”，因此海水也会因为引力较小而突出水面（远离地心），形成几乎一样高的潮汐波峰。所以潮汐的周期只有12小时。因为海水的惯性和特定海床的共振效应，潮汐峰并不正好在地球与月亮的连线上，而是有一个大约四分之一周期（三小时）的时间滞后。如果月亮，太阳和地球正好在一条连线上，月亮和太阳的潮汐会叠加而形成最大的潮汐，叫“春潮”（Spring tides）。当这两条连线互相垂直时，月亮和太阳的潮汐会部分抵消，形成“低潮”（Neap tides）。

在讨论引力波时，我们为什么要讨论月亮和太阳形成的潮汐呢？因为潮汐是地球上能够观测到的最为实在的引力波，有非常清楚透彻的理论分析和实验观测结果，可以用它来估计来自宇宙深处的引力波的强度和可能的应用。我在《对最近LIGO实验组探测到引力波的质疑》一文中已经提到，太阳系以外最近的恒星离我们4.3光年，比太阳要远27万倍。根据平方反比定律，同样强度的引力波源传到地球时的引力波强度只有太阳潮汐力的一千亿分之一，根本无法测量。大麦哲伦星云（LMC），离我们16万光年。从LMC来的同等强度的引力波到达地球以后，其强度比太阳潮汐要小20个数量级，更加无法测量。至于比LMC 更远的宇宙深处的引力波，根本就是没有踪影的东西。所以，一切故意夸大宇宙引力波甚至吹嘘其可能的应用，都是筹集经费的噱头。