关于水星近日点的移动问题
王令隽 2014年8月
水星近日点的移动问题是一个具有历史重要性的问题。其重要性不是因为这一现象本身对天体物理有多么重要，而是因为相对论学者们把这问题当成支持相对论反对经典力学的重要实验证据，被认为是“广义相对论的三大实验检验”之一。
所谓水星的近日点，就是水星轨道离太阳最近的那一点。所有的行星轨道都是椭圆，只不过有的椭圆偏心率很小，几乎是个圆。地球轨道就非常接近一个圆。椭圆有两个焦点，太阳就落在其中一个焦点上，所以椭圆轨道的长轴的两端一个离太阳最近，叫近日点，一个离太阳最远，叫远日点。近日点和远日点的移动就是椭圆轨道长轴（或短轴）的移动。如果把太阳和行星都看成为质点，并且在计算行星轨道时，忽略所有其他行星的存在，那末行星轨道的长短轴是不会移动的。也就是说，近日点是不会移动的。可是这种理想的条件不符合实际情况。因为第一，太阳本身不是一个质点，而是一个扁球体（oblate sphere）；第二，太阳系里有九个行星和其他物质。它们的相互作用会影响到任何一个行星的运动。所以行星的近日点都会移动，水星近日点的移动比较大，最便于观察。实验观察到的水星近日点每一百年会移动574弧秒。
要想精确计算水星近日点的移动是几乎不可能的事情，因为这是一个非常复杂的多体问题。于是天文学家们就将问题简化，将其他所有的行星打碎，变成围绕太阳的环形的均匀质量，而且这些质量环落在同一个黄道平面上。这种简化模型当然和实际的太阳系相差很远。以这样的简化模型计算的结果，不可能符合实际观察的数值。令人惊讶的是，根据这样的简化模型计算得到的水星近日点移动的理论值为每一百年531弧秒，结果居然非常接近实际观察的数值574弧秒，误差不到8%（43弧秒）!
广义相对论的辉煌成绩之一就是算出了这剩下的8%。所以，说经典物理无法解释水星近日点的移动，只有广义相对论才能解释水星近日点的移动的说法是不符合事实的。事实是，经典物理学能够解释水星近日点的移动。只是由于问题过于复杂，只能诉诸过于简单的模型进行近似计算，才使得计算值只相当于实际观测值的92%，而广义相对论计算的结果只相当于实际观测值得8%。两者相加正好等于实际观测值。应该说，经典理论的成绩相当不错。
这里还有一个非常重要的问题，那就是误差理论。广义相对论对水星近日点的计算出来的8%的结果，要宣称有实质的重要性，必须有一个前提，那就是经典计算的92%的结果必须是非常准确的。如果经典结果的误差超过8%，相对论修正就没有任何意义。凡是从事过实验物理研究工作或者数理统计工作的人都应该有这个常识。为什么呢？我们不妨假定经典计算的误差是8%，作为例子来说明这个道理。8%的误差的意思是，如果不采用简化模型，而是精确地求解太阳系的多体问题，其结果不会是531弧秒，可能是531 +/- 43弧秒。可能正好是574弧秒，也可能是488弧秒，还可能是其他数值。如果是574弧秒，经典计算结果就正好与实验观察值相符，加上43弧秒的相对论修正以后，总数是617弧秒，反而不符合实验结果了。如果经典计算结果是488弧秒，加上相对论修正可以将理论与观测之差缩小一半，也还没有完全解释实验结果。所以，如果经典模型的误差很大，大到超过8%，相对论修正就毫无意义。相对论维护者要想确立对水星近日点移动的解释这一成果，必须证明经典模型所引起的误差大大小于8%。
可是从来没有任何人对经典计算中过分简单的模型可能产生的误差做过误差分析。这种误差估计也没法做。我的直觉是，这种过分简单的模型产生的误差很可能超过10%。我可以举出几条理由：1）将行星简化为均匀的物质环和绕太阳转的行星是相差太大的系统。行星的运动是动态的，集中的行星质量和水星的作用也是动态的不均匀的，而均匀的物质环是静态的；2）我们对行星的质量的测量不太精确，对水星和土星质量的测量值仅有两位数字；3）将所有的质量环放在同一个黄道平面上和事实不符。到底误差多少很难估计，除非解决了多体问题得到精确结果后才能知道。有些教科书或网站上列出五位有效数字的计算结果，给人以误差不到万分之一的假象。其实这五位有效数字仅仅是计算时保留的有效数字，他不反映因为模型简单化带来的误差。
一般相对论教科书提到此事时都不谈误差分析，不提及计算模型问题。更多的书索性不提经典计算的那部分。只说“牛顿力学不能解释水星近日点移动问题，而广义相对论能够精确地计算出水星近日点的移动。这说明经典力学需要修正，说明广义相对论正确”。忠厚一点的作者会列出541弧秒的经典计算结果和43弧秒的相对论计算结果，加上一句“这非常有意思”。
应该说，相对论的这个结果是有点意思。但是要把这个结果当作广义相对论正确的证据，立论者就必循证明经典计算中的简化模型所引起的误差大大小于8%。
广义相对论的另外两个经典检验是：光线掠过太阳表面时的弯曲（爱丁顿日食实验）和mu介子在引力场中寿命的变化。前者我在《小儿辩日辨》一文中有分析，后者在《检验钟佯谬的对称实验》一文中有分析。
非常有趣。请教以下两个问题：
1. 100年前的计算能力有限，因此作出均匀质量假设是可以理解的。今天应该有更好的经典假设下的计算结果吧？不知是否有人同广义相对论结果比较？
2. 广义相对论的计算中不需要对行星质量做均匀性假设吗？否则如何计算多体问题？
再次感谢您的文章，读起来让人觉得是一种智力上的享受。
徐刚
徐刚先生您好！您的问题提得非常专业。回答如下：
1. 100年前的计算能力有限，因此作出均匀质量假设是可以理解的。今天应该有更好的经典假设下的计算结果吧？不知是否有人同广义相对论结果比较？
答复：对水星近日点移动精确计算之难，不是难在计算速度，而是难在多体问题本身，复杂到根本就没有办法得到可供计算机计算的算法程序。要精确计算所有其他行星对水星的万有引力，就必须知道水星每一瞬时与每一个行星之间的距离。这就须要知道各个行星同一瞬时的空间位置。如果把每一个行星当作一个质点，其空间位置就需要三个坐标来描述。九个行星就需要27个坐标来描述。每一个行星都沿着大小不同的椭圆轨道以不同的周期运行，所以水星与各个行星之间的距离是八个时变函数。各个行星对水星的万有引力也是八个不同的时变函数。这是复杂性的一个方面。其次，因为万有引力和距离的平方成反比，所以这八个时变函数是高度非线性的。这是复杂性的第二个方面。第三，力是矢量。力的叠加不是简单地将八个高度非线性的函数代数相加，而必须是矢量的叠加。这里有非常复杂的立体几何的三角函数关系，并且这种矢量叠加是每时每刻都在变的。这是复杂性的第三个方面。最后，所有的力矢量的合力决定水星的加速度，也就是水星空间三个坐标对时间的二阶微分。由此列出一个非齐次的三变量（水星的三个坐标）微分方程组。方程组的右边是各个行星对水星的合力的三个分量。每一个力的分量都是27个坐标变量的函数。这些坐标变量都在分母之中，躲在分母的平方根里面，被关在括符的平方里面。这样的微分方程组没有人能解。也根本没有办法写成可供数值计算的正则形式。计算机只能干力气活。一个数学问题要想通过计算机的数值计算得到解决，数学家必须先将微分方程组写成差分方程，设计一定的算法，输入初始条件和边界条件，选定差分的步长，判定收敛的条件，然后写出计算程序，计算机才能运行。可是多体问题连第一步就迈不出去。不信你们可以去问问专供微分方程和计算数学的数学家们。所以，精确计算水星近日点的移动是不太容易的事情。
既然精确计算水星近日点的移动如此之难，那是不是说，在数学家们找到了精确计算方法之前，我们就不得不承认广义相对论对水星近日点计算证实了广义相对论的正确？当然不能。根据“谁立论，谁举证”的原则，相对论维护者必须证明，根据近似模型的经典计算结果的误差在1%左右或者更小，否则所谓的“相对论”修正就毫无意义。对于光线掠过太阳时被弯曲的现象的解释也要遵守“谁立论，谁举证”的原则。相对论维护者必须证明日冕不能使光线弯曲，否则所谓的“太阳引力使光线弯曲”的论断就根本不能成立。
2． 广义相对论的计算中不需要对行星质量做均匀性假设吗？否则如何计算多体问题？
答复：广义相对论的计算，是假定没有别的行星存在的情况下，水星轨道的运动的相对论修正，是一个两体问题。在线性场近似的假设下，爱因斯坦的引力场方程可以过渡到和牛顿公式完全一致，只有一个常数待定。这个常数的选定就是要使在线性场近似的条件下，爱因斯坦的引力场方程和牛顿公式对行星轨道的计算得到完全相同的结果。如果我们在相对论的近似计算中多保留一项呢？结果当然就和经典理论的计算不一样了。这就是相对论修正。在这些高阶的修正项中，最显著的一项会导致轨道近日点的移动。所以这是和其他行星对水星轨道的影响不同的效应。