严谨思维

——由一道初一数学试题引发的思想操练

 

缘起

感恩节前，朋友WJ发帖来报喜：刚刚上初一的孙子“上周期中考试，有一题全年级仅他一人做出来。题目是难。”又把那个题目发来，考我。

题目是：

对于两个有理数 a，b，我们对运算“~”作出如下定义：a~b=la一b|. 例如: 3~9=|3一9|=6，3~9~5=6~5=|6-5|=1.

1）3~5~9=     ，5~9~3=    ？

2）将1,2,3,4任意排序，再依次进行“~”运算，则结果的最小值为?最大值为?

3） 将n个连续的正整数1,2,3, ···n任意排序，再依次进行“~”运算，直接写出最大值和最小值。

我久已不作数学题。那孩子上的是WJ和我的母校。因为这个原因，我想来看看自己是否还能对付现在母校初一第一次期中考试的题目，特别是第三小题。解题过程是一个有趣的故事，涉及（1）算法，求出最小值和最大值（这是题目要求的），（2）证明，求出的最小值和最大值确实是最小值和最大值（这超出题目要求）。

很自然，求解从最小的n开始，计算所有可能的排列产生的数值，并作比较。当n=2时，1，2两个数产生1，既是最小值也是最大值，当n=3时，1，2，3三个数产生最小值0，最大值2，当n=4时，由4~3~2~1得最小值0，由3~2~1~4得最大值4=n，等等。我由此类推，猜想对更大的n，也有最小值为0、最大值为n的结果。这个猜想是错的。后来我更正错误，作出新猜想，写下来，发给朋友们（包括数学系毕业的朋友）。要点是：（1）从大到小连续四个数字运算结果为0，（2）用序列n, n-1, n-2, ···, 2, 1求最小值，（3）用序列n-1, n-2, ···, 2, 1，n求最大值。这三项要素后来证明是正确的。对所有的n，最小值是0或1，最大值是n或n-1。

这中间还有一个插曲。因为n大于4以后，可能的排列数量很大，演算很繁琐，我就把问题送给ChatGPT。结果是，ChatGPT不会逻辑，错得一塌糊涂。

对那两个算法的普遍有效性，我先以为是“不证自明”、“显然”的，但心里还存了一个疙瘩。于是动手证明。我写出自以为顺理成章的证明，发出后，一个朋友“抬杠”，指出我忽略了可能产生反例的情况。我填补漏洞的努力屡遭失败。后来还是那个朋友运用我缺乏的数论知识和神奇的联想，发现运算结果的奇偶性规律，否定了反例。这样才完成这次思想操练。

WT发来孙子的答案照片。他在100分钟的考试中用40分钟作完其他题目，再用一小时算到n=10，找出规律，求得数值解。字潦草，数学能力了得。

我们几个六七十岁的老人，断续用了一个星期“业余时间”，完成了证明。

我把这个思想操练的完整故事放在文末作附录。有兴趣，请到那里去看。否则，就接下来看我的感悟。

 

关于严谨思维的感悟

对付一道初一数学试题，或任何问题，都要遵循严谨的思维方式。那绝非易事。依据这次思想操练，我总结了几个要点：

——要运用逻辑。ChatGPT不会逻辑，用词语排列方式生成语言，对这种问题完全不上路子，答案全错。我多次对ChatGPT测试，对逻辑问题，它每次出错。如果人类都用ChatGPT方式思维，可能导致灾难。

——数学是严谨思维的典范。按数学推演方式，容易提醒人们注重一个关键问题：不忽略任何可能存在的情况。

——对看起来“显然”的结论，避免“不证而信”。

——要掌握尽可能多的知识，而且贯通运用。

——注重发挥自由联想。看起来这与严谨思维不相容，但恰如这次思想操练显示，自由联想帮助严谨思维。

这些要点或许可以认为具有普遍意义。下面依据这些要点，就其他领域的一些（主要与经济学有关的）问题，讨论严谨思维。

 

劳动价值论

经济学理论中，一个显著的逻辑错误（有理由认为是引起最大恶果的逻辑错误）是劳动价值论的前提。马克思在《资本论》开篇提出劳动价值论的元命题：市场上交换的商品具有不同的物质属性和用途（使用价值），“如果把商品体的使用价值撇开，商品体就只剩下一个属性，即劳动产品这个属性”。在逻辑上，这里两次犯错。其一，具有价值的商品并不都是劳动产品。未经人类加工的土地、森林、矿藏等等具有价值。其二，商品并非只具有唯一的共同属性即“劳动产品”，所有商品都具有一个共同属性，“效用”。“效用”是人们对一个商品的价值的主观评价。当代主流经济学的价值论是效用价值论。

奥地利经济学家庞巴维克（1851-1914）在《资本论》三卷出齐不久，就对其逻辑作了严格分析，指出其中谬误。但是，现在还有人认为认为马克思《资本论》的逻辑无懈可击。这种说法依据，应该是马克思推导所用的辩证法，不是普遍采用的一般逻辑。

另一方面，审视劳动价值论，就逻辑基础而言，还可以退一步。按照弗里德曼关于实证经济学方法论的著名论述，把理论前提看作是“as if”，就是说，“权当如此”、“姑且承认”，而把理论产生的可以验证的预测是否有效，当作判断理论是否成立的依据。按这个标准，因为劳动价值论最重要的预测，工人阶级贫困化，资本利润率下降，已经被实践证伪，所以，其前提及由前提推演出的理论就不能成立。

 

理性预期假说

另一个经济学理论重大失败的例子，是“理性预期”理论。1970年代以来的二三十年中，理性预期假说在宏观经济理论占据主导地位，主要倡导者卢卡斯获1995年诺贝尔经济学奖。它的要点是：市场中的人们依据理性、最大限度地充分利用所得到的信息采取行动而不会犯系统性的错误，所有误差都是随机的。一般来说，人的理性预期会等于统计中的期望值。当时还盛行另外的假说，“市场出清假说”，及“有效市场假说”。理性预期假说和它们一起，构成芝加哥学派宏观经济学政策主张的的基础。主旨是反对凯恩斯主义政府干预。

2003年，卢卡斯在美国经济学会的会长演说中说：“我这个讲演的主旨是宏观经济学已经成功：它的中心问题，防止萧条，已经被解决”。

2008年经济大危机证否了他的判断。在次贷危机发生之前，社会主流（包括房市业者、联邦官员、专家）没有预期到房市泡沫破裂。在金融市场崩溃前，社会主流（包括金融业者、联邦官员、专家）没有预期到金融地震爆发。后来是靠联邦财政金融部门采用凯恩斯理论、实施重大救市举措，才避免三十年代大危机重现。

我在学习经济学过程中，对于把那几个“假说”结合起来，反对政府干预市场的论证，一直抱深切怀疑。首先，“理性预期”相当于统计中的无偏估计，意思是，它不产生系统性误差，在多次预测中，不会总是偏高或总是偏低。但是对将来事件的任何一次预测，理性预期并不能总是正确，可能偏高或偏低，因而错失预报即将发生的危机。其次，市场总有波动，正是通过波动、调节达到均衡。调节需要时间。自由市场并不总能随时自动达到供求均衡而“出清市场”。波动中可能出现灾难性下降。第三，即使理性预期正确地预测到市场将会出现灾难性波动，没有外力干预，市场经济仍然会陷入困境。没有依据认为经济在短期必定能复苏，可以相信在长期中市场会再达到均衡。但是，凯恩斯有名言：“在长期中，我们都死掉了”。

两位英国经济学家John Kay与Mervyn King在2020年著作“Radical Uncertainty（全然不确定性）”中，在更基础的层面，分析了“理性预期”以及类似的经济学模型预测失败的原因。原因是：有些事件的发生是“全然不确定”的。Kay对2008金融危机有深湛研究，著有“Other People’s Money（其他人的钱）”，深刻分析了金融业存在的重大弊病。King在2008年是英格兰银行行长。他们把“未知”或“不确定”的事物分为两类。一类是“可解析的不确定”(Resolvable uncertainty) ，可以通过核查确认或者以概率描述，在传统经济学中也称作“风险”。另一类是“全然不确定”，即完全的、根本性的不确定，无法用概率描述。

全书贯穿三个论点：其一，在经济、商业、金融领域的事件变动是“非平稳序列”，并不服从恒定的科学定律。多数重大挑战涉及独一无二的事件。这时传统的统计学推导方法不适用，预测的基础无异于流沙。在这种情况中，不可避免，作理性的反应就是对特定事件做评估，事前事后通常都没有客观的正确答案。其次，人们无法也不做“最优化”。这并不意味他们是非理性偏见的受害者。理性可分两类：一种是经济学家所用的“公理化理性（axiomatic rationality）”，另一种是人们在实践中采用的“进化形成的理性”（evolutionary rationality）。后者是在长期进化、适应过程中产生的对不同情势（包括全然不确定）做判断、决策的理性。第三，人是社会动物，交流在决策中发挥重要作用。人们依赖信任、合作、协调建立网络，市场经济只能在社会背景下运作。社会系统中存在一个独特的循环关系，人对社会的看法反转来影响社会系统。这个性质由哲学家卡普尔提出，叫作“反身性（Reflexivity）”。

“理性预期”理论忽略了这三个因素：非平稳序列，进化性理性，反身性。因此，如书中所说，“卢卡斯赞扬的经济学进展没有防止世界经济的一场重大下跌，也没有为政策制定者提供他们必需的工具来对付那次下跌”。

补充一则有趣的史实。在公认为保守的芝加哥经济学派，卢卡斯多年是领军人物。他欣赏马克思。他上大学一开始学历史，读了《共产党宣言》，相信经济是历史的真正动力，就计划去经济系全面掌握经济学，再回历史系。结果一直在经济系读到博士，在“准马克思主义（quasi-Marxist）” 基础上作博士论文。

 

自由贸易导致双方受益

自从古典经济学家李嘉图在19世纪提出比较优势理论以来，自由贸易增进贸易双方利益就成为经济学的一项基本原理。按照这个原理，因为各国自然禀赋和生产不同产品的效率有差异，全球化对参与自由贸易的国家都有利。最近二三十年全球化迅猛发展的成果数据支持了这个结论。

但是，单单以这个业绩来支持全球化，并不全面。从逻辑角度看，漏洞在于，没有考虑一个重要因素：利益总量的分布。一个国家从国际贸易中得到的利益不一定是普遍分享的，可能集中到某些人群，而另外一些人群的利益受损。

举例来说。篮球巨星乔丹每场比赛都全力以赴，战绩辉煌，为他带来高额收入。他的努力程度和业绩与国际贸易无关（或者，更严谨地说，相关程度很小）。中国开放之后，在全球化过程中，NBA比赛实况电视转播进入中国，比赛中的广告、乔丹冠名的商品等等，给他带来额外的收入。另外一些人，例如在美国始终如一辛勤劳作的环卫工人、始终如一努力教学的老师，没有能享受这种额外的收入。制造业的工人，由于产业外迁到低劳工成本、低环保标准、低人权的国家如中国，利益受损。受益最多的是有大学学历、特别是有高科技技能的群体。

最近二三十年全球化在发达国家造成部分人群（例如制造业工人、教师、环卫工人）的收入（相对于过去、相对于其他人群）下降，收入不均程度扩大，是发达国家反全球化势力增长的重要原因。

多年来，提倡全球化的论述常常只强调自由贸易增加了总量利益，忽视其分配效应，逻辑上不完备，实践中无助于解决全球化产生的负面结果。

 

拜登经济学的业绩

与此相联的一个问题是对拜登经济学（Bidenomics）或拜登施政业绩的评价。按照宏观经济指标，拜登的施政业绩很好。最近公布的第三季度GDP增长年率为4.9%，当下失业率维持在历史低位3.9%，通货膨胀率下降到3.2%，根据历史数据，这可以说是亮眼的好成绩。失业率与通货膨胀率之和称作“痛苦指数”。里根1984年竞选第二任期时曾据以炫耀政绩：痛苦指数在卡特任期高于20%，里根任期降到11.6%。现在，拜登的业绩是7.1%。而且，今年工资增长率开始超过通货膨胀率。

但是按照一个又一个民调，民众感觉很糟糕。按照最近的盖洛普民调，对拜登处理经济事务，“认同”的只有32%，“不认同”的高达67%。据New ABC News/Ipsos民调，对“民主党或共和党谁能更好处理经济”的问题，民主党得25%，共和党得35%。美联储自2014年在民调中问一个问题：“你是否比去年更差？”，最新的结果是，35%回答：他们在2022年比前一年更差。这是从20%急剧上升起来的历史最高数值。

基本的原因是，用宏观经济指标推断民众感觉，这种思维方式不全面。不是说那些宏观经济指标错了，而是说，民众感觉依赖于其他一些因素。其中重要因素是上文提到的分布不均，特别地，低收入群体受通货膨胀负面影响远远大于高收入群体。

总体经济在增长，它带来的收入在各阶层的分布存在巨大差异，而且美国的收入不均程度多年来持续扩大。据最新的美国普查局资料，收入最高的5%住户的收入占总体收入的23.5%，最低40%的住户占总体收入11.2%。GDP数据很好，但是据3月“消费者调查”报告，有64%住户的状况是工资月月光，“从一张工资支票撑到下一张工资支票”。

因此，如《纽约时报》最近（11/16）一篇评论（Karen Petrou，Bidenomics Has a Mortal Enemy, and It Isn’t Trump）指出，拜登经济学核心问题是依赖宏观及平均数据而忽视分配不均。用宏观经济指标推断民众感觉到的生活状况或者不同收入层次的民众的实际生活状况，是不完备的思维判断。

当然，民调反应民众在特定时点的看法，变动很快。拜登施政的一项重大成果是取得两党共同投票通过的大规模基建法案。基建项目需要时间展开到位，它在就业、工资等方面的正面效果尚未充分展现。迅速降低通货膨胀而保持经济增长是拜登施政的另一重大成就（很多专家曾经预测美联储推高利率将导致衰退），但是老百姓在超市购买食品杂货的价格仍然比去年高。如果工资增长率继续高于通货膨胀率，老百姓的评价会改变。

 

人口构成趋势与非白选民倾向

美国人口发展的一个重要趋势是，非白人口将超过白人，这种构成变化不会逆转。因为民主党一贯自认代表非白人的各种“弱势群体”，因此，民主党和许多自由派人士多年前就宣称，人口构成趋势将导致民主党在选举中占稳定的优势。

并非只是自由派持这种看法。《经济学人》杂志最近（11/17）的一篇文章“为什么非白选民正在背弃民主党（Why non-white voters are abandoning the Democratic Party）提到，十年前，共和党第二次在大选中被奥巴马击败以后，一个党内大佬委员会发表了一份所谓“尸检”报告。其中警告：选民对共和党的评价是“可怕，狭隘意识，丧失接触”，“全是古板的老男人”（更准确地说，老白男人）。报告建议，为了赢得西语族群，要放弃一些高调的主张，例如“全面移民改革”。这个建议未被采纳。共和党下一个总统候选人、2016年当选总统川普，反道而行。他声称，墨西哥有意把“罪犯、贩卖毒品者、强奸犯”送到美国。今年10月，他指责非法移民“毒化我们国家的血统”。

但是现在的状况并非如民主党、自由派及共和党大佬当初所设想。《经济学人》那篇文章提供了一些数据。长期是民主党的基本盘的劳工阶层、非白群体，向共和党转移。2018到2022年，共和党对民主党在白人劳工的优势增长7个百分点，在非白劳工中的优势增长超过14个百分点。在非白人口中，对民主党的支持显著下降，非裔美国人下降6点，西语族裔下降11点，亚裔下降19点。只有依靠在受过大学教育的人群中的优势，民主党才能和共和党抗衡。

原因何在？特别是，民主党、自由派的判断错在哪里？他们的思维不严谨，忽略了许多重要因素。举例来说。

选民的政治倾向并不单纯由族裔身份决定。西语族裔几乎和其他美国人有同等可能性支持边境安全政策。第二、第三代西语族裔更可能成为共和党人，就像白人天主教徒长期以来从民主党转向共和党一样。

选民的政治倾向并不单纯由职业身份决定。产业劳工曾经是民主党基本盘，但由于不满意全球化自由贸易政策、偏向转性人的政策主张等原因，逐渐偏离民主党。

选民的政治倾向并不单纯由经济利益决定。共和党传统形象是“乡村俱乐部（采用会员制的私人高尔夫球场）”会员的党，但是，它吸引了产业劳工的选票，尽管它实施对富人减税。民主党吸引了一些最富裕的人，大量高收入、高教育水平的人，而他们支持对高收入增税。

上述最后一点表明文化战的巨大影响，价值观引导了许多选民的政党倾向。近年来左右两翼对涉及社会文化价值观一些问题，例如堕胎、变性人、批判性种族理论、边境安全等等，激烈争辩。有专家引用民调数据判断，除了堕胎问题，民主党在其他问题上脱离了多数选民。极端左翼损害了民众对民主党的感知。而多数民众反对极端右翼对堕胎的主张，导致了共和党在（包括深红州的）选举、公投中失利。

人口构成与选民倾向的关系，决定于许多因素。根据人口构成发展趋势来判断选民总体政治倾向，不靠谱。

 

严谨思维与价值观争论

美国正在经历一场文化战。左右两翼的极端派别在激烈交火。极端左翼有警醒文化、批判性种族理论、过火的DEI（Diversity, Equity and Inclusion，即多元、平等、包容）主张等等谬误，极端右翼有阴谋论、种族主义、民粹主义等等谬误。不排除两边极端派的谬误，美国社会不能重回正轨。现在的局势像是在比那一方更糟糕。更糟糕的一方引起更多民众的反感，从而失去多数选民支持，导致另一方获胜。

在选举中采用“排劣法”投票并无不当。采用此法，按照逻辑，应该排除最大的“劣”。对此，有一种判断：应该排除的最大的“劣”是“对美国自由民主法治的最大威胁”，而当下“对美国自由民主法治的最大威胁”是川普。《经济学人》持这种观点。它是在全球声誉卓越的英国自由主义杂志，独立于美国自由派和保守派。

《经济学人》作出判断的理由是：2021年1月6日冲击国会大厦事件，是美国有史以来从未有过试图用暴力打断和平交接政权的事件。因此，否定合法选举结果、坚持选举舞弊的谎言而且正在提出更加极端政策举措的人，就构成对美国自由民主法治的最大威胁。

显然，现在很多人不同意这个判断。原因可以归于价值观。对不同价值观，无法用逻辑分析来确定其是非高下。不幸的是，价值观偏执会导致一种部落主义思维，“非我族类，其心必异”，绝不苟同“他们”。这种思维造成社会分裂。价值观分歧难以用严谨思维的论证来克服。

但是《经济学人》判断的基础是：2020大选结果合法。这是一个事实。这个事实已经通过所有行政、立法、司法程序确定，川普阵营发起的几百个挑战官司未能推翻任何一州的选举结果。不管持何种价值观，每个人都应该承认清楚的事实认证。

在涉及价值观分歧的争论中，尽可能把问题归约到事实认证，会有助于严谨思维发挥作用。而且，只有通过严谨思维，才有可能把争论中的价值观因素与其他因素分辨开来，在此基础上，达成重叠共识。

 

结语

本文主题是严谨思维。意图不在对具体理论、自由派或保守派的特定观点作判断，而在审视其分析论证是否严谨。当然，如果不严谨，理论、观点就不能成立。

此文写作中，心怀一个希望，对自己，对他人：运用严谨思维分析判断任何问题。对涉及价值观的问题，在公共讨论中，以严谨思维方式审视各方论证。

 

附录

求解一道初一数学考题的故事

题目：

对于两个有理数 a，b，我们对运算“~”作出如下定义：a~b=la一b|. 例如: 3~9=|3一9|=6，3~9~5=6~5=|6-5|=1.

将n个连续的正整数1,2,3, ···n任意排序，再依次进行“~”运算，直接写出最大值和最小值。

 

寻求一般性算法

求解从最小的n开始，计算可能的排列产生的数值。我作了计算比较：n=2时，（1，2）两个1数产生1，n=3时，（1，2，3）产生最小值0，最大值2，n=4时，由4~3~2~1得min=0，由3~2~1~4得max=4=n，等等。我由此类推，猜想对更大的n，也有最小值为0，最大值为n的结果。这个猜想是错的。后来我更正错误，第二天一早，写下来，和朋友们（包括数学系毕业的朋友）讨论。见以下微信帖子记录。

**********

—————  2023-11-23  —————

Renze 8:42 AM

我在睡梦中理清了思路。马上写出来送给数学系毕业的专家看。

Renze 8:55 AM

Renze 9:37 AM

我想明白的关键是：从大到小排列，前四个数字运算结果为零。

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这里概括的思路，包括了算法的三项要素：从大到小连续四个数字运算结果为0，用序列n, n-1, n-2, ···, 2, 1求最小值，用序列n-1, n-2, ···, 2, 1，n求最大值。这三项要素后来证明是正确的。

 

ChatGPT的失败

这是一个插曲。一开始我试算时，当n>4，各种可能的排列很多，计算量很大。恰好前几天人工智能先锋公司OpenAI上演大戏，提醒我去找ChatGPT帮忙。ChatGPT很快就错得一榻胡涂。我和ChatGPT的对话如下（RE是我发的问题）。

==========

RE

对于两个有理数 a，b，我们对运算“~”作出如下定义：a~b=la一bl。

3~9=?

ChatGPT

ChatGPT

“最小值为3，最大值为0″，不合逻辑吧？

ChatGPT

RE

“1 2 3 4=∣1−2∣ 3 4=1 4=∣1−4∣=3”，步骤不对吧？应该是1 2 3 4=∣1−2∣ 3 4=1 3 4=∣1−3∣ 4=2 4=2。你说呢？

ChatGPT

RE

你重复了以前的错误：忽略了最后一步应该是2~4=2。

ChatGPT

==========

ChatGPT是学人说话的语言模型，不会逻辑思考。以前对它测试，多次发现它在计算-逻辑上出错，在生成语言方面也有弊病。这次，ChatGPT显然未能完全理解题意（可能在训练时它没有见过这种语言）。而且，因为定义中只举例说明三个数字的连续运算，它就不会正确地对四个数字连续作“~” 运算。

就这个数学-逻辑问题而言，ChatGPT不如一个初一的好学生。

 

寻求算法一般有效性的证明

在寻求算法时，我把那两个算法的一般有效性看作是“不证自明”、“显然”的。和朋友们讨论，大家也都认为这两个算法是正确的。但我对朋友们说，我心中还存在一个疙瘩。就着手证明。没想到证明意外地困难。

我把初始证明发给大家。朋友CX出来“抬杠”。我用微信转告大家：

**********

—————  2023-11-27  —————

Renze 10:30 PM

告诉你一个好消息：CX认为我的证明有漏洞。见下文中对定理1的讨论。他认为猜想、计算思路都是对的，但证明不完备。我好像困在死胡同了。没想到如此复杂。

我的证明与漏洞如下：

引理1  对从大到小排列连续4个数字的数串n，n-1，n-2，n-3连续进行“~”运算，结果为0.

证明：n ~ （n-1） ~ （n-2）~ （n-3）= l n -（n-1）| ~ （n-2）~ （n-3）=

=1 ~ （n-2）~ （n-3）= （n-3）~ （n-3）= 0

定理1   将n个连续的正整数1,2,3, ···n任意排序，再依次进行“~”运算，序列

n, n-1, n-2, ···, 2, 1

产生最小值。

证明：

称此序列为a，称任意排列的所有序列中其他任何一个序列为b。

n<4的情况见上文。当n=4，根据引理1，序列a产生对所有可能的排列进行运算的最小值0。因此n<5时，命题成立。

当n=5，序列a前4个数字从大到小排列，根据引理1，此数串产生0。下一个（最后一个）数字为1。它是1到n所有数字的最小值。因此序列a产生的数值1为最小值。

==========

CX：

需要证明序列b不可能产生比1还小的数值，就是说，序列b产生0。

==========

**********

我的“一厢情愿”的思路是，序列a每一步运算产生最小值，因此最后必定产生最小值。CX的逻辑挑战是：序列b在前面每一步运算中不一定产生最小值，但最后两个数字运算还有可能产生最小值。他是对的。

严谨的推理是：对任何可能的排列，计算结果必定在0和n之间。当最小值算法产生0时，无疑得到最小值，当算法产生1时，必须证明别的排列不可能产生0。当最大值算法产生n时，无疑得到最大值，当算法产生n-1时，必须证明别的排列不可能产生n。

朋友ZCM提出用数学归纳法证明。我延续自己的思路，还是想证明，在n=5时，5，4，3，2，1五个数字运算结果不可能为0。反复演算推理，都不成功。

突破由CX实现。他宣告：

—————  2023-11-28  —————

CX 10:24 PM

准备入梦之前突然想到一个证明：从x~y运算结果的奇偶性着手。易知，当且仅当x与y中只有一个奇数时，其结果为奇数。那么，对n=4k+1和n=4k+2 ，序列1，…，n 中有奇数个奇数，从而任意排列后的序列运算结果必为奇数，于是特定序列a(n)的运算结果1达到所有序列运算的最小值。的确是数论问题。

我第二天一早回复：

Renze 8:32 AM

奇偶数讨论思路绝了。我已经接触到这个思路。见下文（略）。后来接着思考的问题，就是，某些序列的计算结果不可能是奇数，或者必定是奇数。我对数论只有一点皮毛知识，中学时看的科普书，但都不涉及绝对值计算。所以，“当且仅当x与y中只有一个奇数时，其结果为奇数”，可真是天才联想。

运用这个奇偶性，我完成了证明。举两个例子。

上述n=5时，最小值是1的证明如下：

当n=4k+1，序列a前4k个数字产生0，最后一个数字为1。

需要证明序列b不可能产生比1还小的数值，就是0。

对任意两个数x和y，当且仅当x与y中只有一个奇数时，“~”运算结果为奇数。当n=4k+1，序列1，…，n 中有奇数个奇数，因此序列b结果必为奇数。最小的奇数是1。

因此命题成立，最小值为1。

当n=4k+3时，最大值时n-1的证明如下：

当n=4k+3，序列a的前4k个数字产生0，最后剩下三个数字2，1和n，运算结果是n-1。

考察序列b。当n=4k+3，序列中有偶数个奇数，因此运算结果必为偶数。它不可能大于n。此时最大的偶数就是n-1。

因此命题成立，最大值为 n-1。

其余情况可以类似证得。

用此法可以完整证明

	最小值	最大值
n=2	1	n-1
n=3	0	n-1
n=4	0	n
当n>4，k为正整数
n = 4k	0	n
n = 4k + 1	1	n
n = 4k + 2	1	n-1
n = 4k + 3	0	n-1

 

2023/12/7完稿