如果要问二十世纪最重要的经济学家是谁，答案多半会是凯恩斯（John Maynard Kenyes）。如果要问二十世纪最重要的三名经济学家是谁，则大多数人会加上萨谬尓森(Paul Samuelson)和弗里德曼(Milton Friedman)。
萨缪尔森的贡献在于在他的博士论文中系统性地引入了数学方法来表述经济学。这篇论文以后成书出版，叫Foundation Of Economic Analysis，开创了经济学中数学化的趋势。对这种趋势，褒贬不一，但这本书的重要性，在经济学界却是毫无疑义的。萨氏自己也是很得意的。萨自己的再版序言里基本就把自己比作经济学的牛顿了。虽然有点狂，但也不是没有道理。在萨氏读博士的时候，经济学家们数学确实不太好，用基本的边界比较法（Marginal Analysis）研究经济学，常常为一些简单问题辩论个半天，结果萨氏上来用多变量微积分和极值问题一比划，就全解决了，自然有牛顿风范。
但萨氏最得意的数学经济（姑且这么称呼吧），却在最关键的两个地方被自己亲戚阿罗（Ken Arrow）的光芒给完全盖住了。可以不夸张的说，萨氏的书等于把经济学家们已经摸索出来的一些结果比较有效地用数学表述了。但阿罗开拓了全新的数学经济领域，提供了新的思路，并且也运用了更先进的数学。
第一个领域是经济平衡。萨氏的理论，基本是沿袭马歇尔（Alfred Marshall）局部平衡（partial equilibrium）理论。而阿罗和德布鲁（Gerard Debreu），却第一次给出了完整的一般均衡（general equilibrium-Walrasian equilibrium）的存在性证明。简单地说，就是萨氏能算生产，能算消费，能算生产要素市场，但每次都是以其他市场的价格为边际条件，他的数学还不能算让所有市场同时平衡。也就是说：要知道生产多少，必须知道产品（commodity）的销售价格；要知道产品销售价格，必须知道市场需求；要知道需求函数，必须知道消费者收入和消费偏好；但消费者收入又取决于工资；工资呢，又取决于雇主的生产函数和产量，所以工资，产品价格，产量，和消费，产品市场和要素（factor）市场，严格地说应该作为一个整体来研究。但经济学家们却只能把这其中每一步的关系（局部平衡）搞清楚，作为一个整体，到底这两个（或更多，加上资本）市场会不会产生确定的产品和要素的产量和价格，并且不产生剩余（一般平衡）呢？经济学家们假设会，但却无法证明。这个问题，到阿罗和德布鲁定理之前，有75年并没有解决。阿罗用了拓扑学的不动点定理解决的这个问题，其重要性对于古典经济学，不亚于Fundamental Theorem of Calculus对微积分的重要性。它说在特定条件下，市场能够按照生产技术和个人偏好分配资源并且不出现明显的不理性结果。
第二个领域是所谓的福利经济学。福利经济学，简单地说，就是研究一个整体内，个人和“整体”福利的关系。有两条最“基本”定理，第一条就是人们熟知的帕累托（Pareto）有效定理，在一定的条件下，有效市场会达到帕累托有效，即如果要让某个人更好，必须让另一个人更坏。第二条定理基本是第一条定理的反命题，在一定条件下，任何帕累托有效结果，都是一个有效市场。这两条定理，大致陈述了亚当斯密“看不见的手”的充要条件。这两条定理都被阿罗重新证明，并且把原先经济学家们的一些不现实的假设去掉了，可以说给这两条定理加强了相当多的“合理性”。
但阿罗最重要的贡献，并且完全原创的发现，却是阿罗不可能定理[1]（也是他的博士论文）。这条定理如此重要，被公认是开创了经济学里的社会选择（或公共选择）理论 —— 一个全新的领域，有些人也称其为福利经济学第三定理。阿罗不可能定理，简单的解释就是说，如果你接受一些直觉上似乎应该满足的条件，从每个个人的偏好来得出一个“社会”选择是不可能的。偏好和选择的定义，就是对所有可能对选项或结果做出一个排序，这个排序必须满足所谓对理性原则（rationality）。其中包括两条：传递性（transitivity）和完全性（connectedness）。完全性，就是个人偏好和社会选择必须对任何两个选项排序，X>Y，X=Y，或者Y>X，传递性，就是排序必须自恰，如果X>Y，Y>Z，那么X>Z
阿罗不可能定理的陈述如下：如果至少有两个人，和至少三个可选项，那么任何同时满足以下五个条件的社会选择结果不存在：
第一，无限制性(universality)。任何偏好都可以被计入。
第二，公认原则(unanimity)。在一个社会中的所有人都认为X>Y，则社会选择必定X>Y
第三，尊重个人偏好（monotonicity）。如果某个人提升他对X的偏好，那么在社会选择中X的排序不可能下降
第四，无独裁并且无先验排序（non-dictatorship & non-imposition）。没有哪个人可以不论其他人如何选择而让社会选择跟他个人偏好完全一致，任何可能的社会选择结果都可能出现
第五，是独立原则（independence of irrelevant alternatives）。X、Y是两个选择方案，如果所有个人关于X、Y的相对偏好不改变，那么无论任何人关于X、Y以外的偏好是否发生了变化，社会关于X、Y的次序也不改变。
阿罗不可能定理的出现，被很多人认为是对选举政治的重大冲击，对集体理性的否定。有些解释进一步认为这是对政府功能的否定，或者是市场优于政府行为的一种证明。但，这种市场优于政府的解读经常是基于对阿罗定理的错误理解之上的。这种错误解读，认为阿罗不可能定理说明选举或其他政府主导方式无法达成社会选择，但市场可以。但事实上，阿罗定理中的社会选择，不仅仅包括选举投票，也包括市场。他所定义的“社会选择” 只要符合这五个条件，可以任意定义，当然也包括基于个人自愿之上的市场选择。也就是说，阿罗定理说明，不管采取何种方式（包括市场手段），由个人理性达不到社会统一的上述定义的理性。阿罗本人明确在文章里称述：”Similarly, the market mechanism does not create a rational social choice.”[1]
那么如何理解阿罗定理对市场和社会选择的限制呢？几十年来这个领域人们提出了各种不同的方式[3][4]，最常见的，就是减弱其中一个或几个条件。我们这里就聊聊市场跟这些“直觉”上应该满足的条件到底有多少吻合。
首先，先看看萨缪尔森对阿罗定理的批评[5]，这个批评是针对偏好无限制性的（第一条件）。阿罗定理要求，社会选择必须是个人选择的函数，而且个人可以选择任何偏好：比如一个人可以偏好完全无私奉献，也可以完全损人利己，任何人也可以对任何他人的状况指手画脚。社会选择函数必须对任何可能的个人选择函数组合都有定义。但实际上个人的效用函数是有明确的边际条件的，如越多越好，但边际效用递减，如个人偏好必须具有“凸”性等。所以，无限制性本身的可能要求过多[1]。于是，有人证明了如果个人偏好函数只能取一个形式而不能变来变去，阿罗不可能定理依然成立，但其中的独立原则要改成为“中立原则”[6][7]，即：如果选项w跟z在每个个人的偏好中的相对地位与x跟y一样，那么如果社会选择x高于y的话，必然社会选择w高于z。这条中立原则跟独立原则相匹配，即如果不能比较一个人的两种不同的偏好函数的话，那么在同一个偏好函数里进行一下两组不同的选项比较，如果一组产生某种特定排序结果，另一组完全相同的关系也应该产生完全对应一致的排序结果。看上去很合理吧？可是这条“中立”原则的必然推论是什么？我们来看看。假设一共两个人，一个选择X>Y，另一个选择Y>X，但社会选择X>Y。那么如果第一个人选择W>Z，第二个人选择Z>W，那么社会也必须选择W>Z。所以这条看似很无害的“中立”原则，实际上是在说如果甲方在某两个选项上可以忽略乙方，那么在所有选项上都可以忽略乙方。看出来了吧，甲基本就是个独裁者了。所以，这种“直觉”上应该的条件，本身就值得怀疑。但这还并不是最受诟病的阿罗条件。
回到原来的阿罗定理，对应于“中立”原则的“独立”原则（第五条件）也是那么一条看似很靠谱，但应用在实际情况上马上要出问题的“直觉”条件。举个例子，大选中三个候选人，布什、戈尔和纳达尔。直觉上，布什和戈尔之间，选民应该能够做出抉择，而这个抉择，不应该因为纳达尔的参选而改变结果，但事实上我们知道2000年的大选结果就是因为第三方的参与而改变的！
那么这个条件，到底为啥遭到诟病呢？回到阿罗定理最初证明时的最少变量：两个人，三个选项，假设选项是a，b，c，两个人是甲，乙。假设甲的偏好是 a >甲b >甲c，乙的偏好是c>乙a >乙b。那么肯定社会选择 a>b（公认原则），但一个偏好a >甲c，一个偏好c>乙a，所以c跟a不好比，而且一个偏好b >甲c，一个偏好c>乙b，c跟b也不好比，一定要划出次序，如果根据独立原则，则必须c=a，而且c=b，所以这又跟a>b矛盾，所以定理得证。可问题是，独立原则在这里的应用是有问题的，为什么？因为即甲方偏好a过于c，而且c是最差的，乙方偏好c过于a，但a是第二选项，也就是说，如果没有这个独立原则（也是在拿a跟c比的时候，完全忽视b的作用），c跟a是不相等的，所以不会得出c=a的结论。这个看来无害的独立原则，实际上要求社会选择函数强制性忽略以下信息，甲方对a的最高选择，而乙方则并不对a特别排斥，所以这条原则也未必是合理的。
这个独立原则，源远流长，其实早先可以追朔到博达计数悖论[8]，
a b c
甲 3 2 1 （a>b>c）
乙 2 1 3 （c>a>b）
如果我们按数值相加投票，则a＝5，b=3，c=4，所以社会选择是a>c>b。但如果接受独立原则，则
a c
甲 2 1 （a>c）
乙 1 2 （c>a）
则a=c。在博达计数悖论中，违反“独立”原则，被认为是产生了悖论和矛盾。但如果你接受阿罗不可能原理，并且接受社会选择存在，那么一条可以考虑的路径就是放弃这条看似很合理的“独立”原则。事实上，很多社会选择理论的研究也是从减弱这条独立原则入手的。
但实际上最根本的反对意见，是从最初的社会理性的定义入手。也就是说：没有理由认为社会选择，一定要把所有的可能选项都完全排序。认为在社会选择过程中，强制要求所有选项都符合传递性和完全性是没有必要的
这里，我们回到市场的例子。在市场中，人的自由交换是所谓的“社会选择”函数，在市场中，这个“社会选择”无时不在，社会选择一直在进行中。假设前面讲的阿罗一般平衡定理的条件成立，那么选择是必然的，而且根据福利经济第一定理，这个选择的结果符合某种定义上的最“优”。但注意，这个平衡点的存在，并不代表所有的可能选项都被排序了，比如，在只有两个人的社会里两个人都得到2个物品自然优于两个人都得到1个物品，但甲得到多于乙方和乙得到多于甲方之间，未必存在一个市场选择所定义都排序。所以，完全可以存在一个不完全排序的“社会选择”或“市场选择”。并且，一般平衡理论的一个重要结果，就是一般平衡的解，是不唯一的[9]，Sonnenschein-Mantel-Debreu定理表面，市场选择不但不完全排序，甚至在普通情况下，这种排序对最“优”也是有多种解释的。
讲了那么多条件的未必合理。那么，到底阿罗不可能定理，对政治和市场是否有任何含义呢？我个人认为，阿罗不可能定理，并不如过去几十年认为的那么重要。更不如阿罗一般平衡定理在学术上的地位。但阿罗不可能定理，确实让我们认识到一些“直觉”上很合理的假设，存在根本性的矛盾。特别是，在公共领域，或“政治”领域，人的思维定式常常假设存在一个完全排序的可能，但实际上完全排序，或绝对意义上的“最优”不但是达不到的，而且是不存在的。从政治选择来讲，人们容易误解政治的主要内容是选举，是选出一个“最好”的总统，来实现自己的要求，或一个模糊概念“社会选择”－“人民意志”。但事实上，每个人希望通过政治选择来实现的，是一篮子具体的、相互联系但也可能相互矛盾的目标，而不是选出一个“最符合自己标准”的候选人来。从这个角度来讲，去实现自己一篮子目标，运用市场的比喻，就事论事而不论人、妥协、交换，甚至通常贬义的“交易”都是政治选择的合理选项，选举只不过是其中一个手段而已。
这里阿罗定理五个条件里面的其他几条，包括公认原则（unanimity），尊重个人偏好(monotonicity)，不是独裁(non-dictatorship)的或先验的（non-imposition），就不多叙述了。
阿罗不可能定理的另一个重要后果，是经济学里，特别是数学经济学里开拓出里一个全新的领域，叫社会选择理论或公共选择理论。这个领域最有意思的是不同的“新”数学在这里都得到了很有独特的应用。其中有意思的两个，一是不可能定理的拓扑学含义[10]，二是运用傅立叶变换可以对出现投票悖论的概率做出精确估值[11]，都很好玩。
[1] Arrow, Kenneth (1950), “A Difficulty in the Concept of Social Welfare”, Journal of Political Economy, V. 58, pp. 328-346
[2] Arrow, Kenneth (1963), Social Choice and Individual Value, 2nd Edition, 1963, John Wiley & Sons, New York
[3] Grofman, Bernad (2004), “Arrow’s Impossibility Theorem”, in C. Rowley, F. Schneider, The Encyclopedia of Public Choice, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, pp. 25-27
[4] 维基：https://en.wikipedia.org/wiki/Arrow_impossibi...
[5] Samuelson, Paul (1967)，“Arrow’s Mathematical Politics，” in S_Hook，ed., Human Value and Economics Policy, New York University Press, New York, pp. 41-52
[6] Kemp, Murray, and Ng, Yew-Kwang (1976), “On the Existence of Social Welfare Functions, Social Orderings and Social Decision Functions,”, Economica, V. 43, pp. 59-66
[7] Feldman, Allan & Serrano, Roberto (2008), Arrow’s Impossibility Theorem: Two Simple Single-Profile Versions, working paper
[8] 老钱，https://hxwk.ciaos.org/lao-qian.hxwk.org/2012/12/18/老钱：完全公平的代议制是不存在的
[9] 维基：https://en.wikipedia.org/wiki/Sonnenschein–Mantel–Debreu_theorem
[10] Baryshnikov, Yuliy (1993), Unifying Impossibility Theorems, a Topological Approach, Advances in Applied Mathematics
[11] Kalai Gil (2002), A Fourier-Theoretic Perspective on Condorcet Paradox and Arrow’s Theorem
[1] 萨缪尔森的另一个主要意见是阿罗不可能定理对他的“社会福利”函数不构成问题，因为社会福利函数本身不是所有任何可能存在的个体偏好函数的综合。萨氏的社会福利函数在阿罗的文章里属于“柏拉图”式的福利计算，是完全不以个人偏好为转移的先验的“优劣”价值判断，即不管个人价值如何，社会价值是萨缪尔森自己定义的。这种社会福利函数，有着“先验”特性。