物理学需要实验和观察而得出物质的静态与动态的基本性质和规律；化学是需要试验手段和方法来研究物质的原子与分子结构以及它们之间的相互作用；生物学需要生物体来研究其结构、功能、发育、进化以及它们之间的相互关系。无论物理学、化学还是生物学，都离不开试验室，试验设备和物体作为对象。

数学，它作为所有科学的基础，在证明推理的过程中，有时可能会借助一些具体的物体和模型，但当数学定理被证明后，就可以完全抛弃它们。

正是由于数学的特殊性，人们往往对数学家们的传奇故事津津乐道。数学上超现实性和超常的难度，伴随数学家们略带怪异的个性，强化了数学家的传奇的色彩…….

古希腊数学家阿基米德在浴缸中突发灵感，发现了浮力定律因此兴奋而裸奔……

大数学家费马（Fermat）喜欢在书页边上作注释。1637年他在阅读丢番图的《算术》时，曾在丢番图的《算术》页边写下了一段话：“将一个立方数分成两个立方数之和，或者将任何一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，都是不可能的。我对此有一个绝妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下……” 注记中的论断，就是大家熟知的费马大定理。由于他仅宣称有一个绝妙的证明，因为书页的空白太小，写不下，没有给出证明细节，就不能叫定理，而被称为猜想。如果给费马一叠空白的纸张，请他把证明写出来就好了，但没有这么做。这个费马让世界上一批批优秀的数学家促促费了三个多世纪的心血。356年后的1993年，数学家怀尔斯（Andrew Wiles)才得出了最后的证明。这个费马！

约翰·纳什（John Nash）毕业时，数学系博导给他写的推荐信中只有一句话：“这名学生是个天才”，他获诺贝尔经济学奖的论文只有半页长度。纳什后半生没有正式工作，生活困难，在领诺奖仪式上，发言人不知如何称呼，最后用了他当时临时工作称谓Research Assistance Coordinator (研究助理协调员），听起来和数学系刚参加工作的秘书差不多……

陈景润是哥德巴赫猜想的最佳结果证明者。他经常忘记吃饭，他的同学（也是笔者的老师之一）的儿子都到谈恋爱的年纪了，他才结婚。陈老师出门时，有时穿一白一黑的袜子……

几乎没人知晓的高冷数学家格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman），他的生活一直比较清苦，他解决了世界上最著名的问题之一庞加莱猜想而获数学最高奖之一菲尔兹奖，佩雷尔曼拒绝了领奖。克雷数学研究所给他颁发的一百万美元的克雷数学研究奖，他也不领，说“我不需要”。他选择了隐退，并远离了公众关注，过上了相对隐居的生活……

伽罗华（Évariste Galois）是一位天才少年，他创立的群论和伽罗华理论，仍是当今代数方向研究生的必学内容。伽罗华当年积极参加政治活动而被囚禁。他爱上一名女子，与另一位无名求爱者决斗，不幸重伤而亡，殁年20岁……

…………

数学的规律，不仅仅是宇宙的规律，甚至是超宇宙的规律。比如勾股定理（毕达哥拉斯定理），它描述了直角三角形中，直角边平方的和等于斜边平方的关系，它的成立並不需要有一个木制或铁制的直角三角板存在。又比如拓扑学中Euler-Poincaré 定理（欧拉-庞加莱定理）所导出的正多面体的个数，结论是：正多面体仅仅只有5个，也就是四面体（正三棱锥）、六面体（正立方体）、八面体、十二面体和二十面体。这个结论与人的直觉是相反的：二维中，对平面上的圆进行任意等分后联接相邻的点，切割后就可以得到任意多边形。可是进入三维，在一个球上只能做五次不同的切割。正多面体有高度的美学和实用价值。然而，但无论我们所处宇宙何方，还是未来发现的新宇宙中，这种几何物只有五种。任何宇宙中的任何超级智慧生物（如果存在的话）也无法找到第六种正多面体。数学定理是超宇宙规律，它们的存在和成立，甚至可以不顾宇宙的存在而独立存在。在未来试图与外星文明进行交流的过程中，可能使用数学定理来创建Axiom of Choice（选择公理）的通讯方式，这是一种基于数学逻辑的方法，不受智慧物种的限制。

研究数学和研究其它学科一样都艰辛无比，但数学的非物质性决定它是无利而图的学科，除了具有惊人的天赋外，还要有巨大的好奇心和献身精神。由于一代代数学家们的前赴后继，才让那些模糊的超级规律不断变得清晰。只要人类对规律的好奇心不消失，科学进步就会继续向前，通向遥遥的未来。

然而，令人非常不安的是，随着宇宙年龄的增大，宇宙可能将逐渐变得越来越冷、越来越稀薄，直至最终达到熵的最大值，进入一种无序而静态的状态。或者宇宙在膨胀到一定程度后开始收缩，最后收缩成一个质点，又产生下一次大爆炸。无论如何结局，当前的地球、太阳系、银河系乃至整个宇宙都会不复存在，而人类历尽艰辛所发现的规律和人类一起消失，这是最让人无奈和绝望的事情！但是，即使宇宙消失了，数学依然不灭，因为数学定律独立于宇宙的存在。数学定律的存在与不灭让人想到道。“太初有道”，数学归道，道无终。
(2024.1.15 于波士顿）

《华夏快递》 2024.1.20
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在公园的演说者之角停留、沉默了片刻。马克思曾经常在这里发表鼓动演讲。然而，他和他借以提高身高的那个肥皂箱子早已荡然无存。演说角空无一人，只有一群无聊的鸽子在地上觅食拉粪。

位于伦敦北郊的海格特的马克思墓地，已经不接受免费参观者而必须购买4英镑的门票入内。尽管每天游访者寥寥无几，然而马克思却一直在那里不断挣取那一点点剩余价值。

由于现代社会，无论称谓为资本主义、社会主义，或其他什么主义，人人都可以购买股票，从而人人都是或大或小的资本家。实际上，资本家的概念已经完全虚化，剩余价值理论也像海格特那块墓地一样，与作始者自相矛盾。

《资本论》是由我的老校长王亚南先生等译成中文而流传国内的，其理论本身炝制时就显粗糙有疵，当今更显过时。它作为一部年数已久的草稿，由多人参与整修最后才结稿出版，放在图书馆偏僻一角的书架上作为研究批判的资料並无妨。如果它今后能像在西方的图书馆一样，蒙上灰尘並不奇怪，常年无人问津虫蛆鼠咬亦不令人吃惊……

《华夏快递》 2022.9.19
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显然，中国古代很早就发现了世界上有些事情无法自圆其说的现象，由此产生了“自相矛盾”这个成语，並把该寓言故事编入幼童读物，津津乐道。数千年来，人们似乎都停留在给幼童讲故事的层次，並未对这种现象的内在本质进行过深入的思考与探讨。直到如今，还有些人干脆说“那个卖矛鬻盾者是个十足的白痴”了事。然而，该故事引入的问题远非如此。

对矛盾现象的深入思考与分析，需要严格系统的逻辑学、集合论。可惜这些学科並没有在中国的文明中产生。由于对问题缺乏分析工具，数千年来，人们停留在幼童故事中不足为怪。

西方文明中产生的逻辑学和集合论，是二个平行对称的理论。它们是现代数学的基础，而数学被认为是所有学问中最严谨可靠的学科，因而如何强调逻辑学和集合论的重要性都不为过。

康托创立一般集合理论后，数学家们认为数学这栋摩天大楼有了坚实的基础。然而，1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素的这条悖论使集合论引发了第三次危机。

罗素悖论听起来高深，但可简单地描述成通俗易懂的“理发师刮脸的故事”：在某个小城中仅有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”

广告牌立出后，来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，略思……他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。理发师十分困惑，无法决定要不要给自己刮脸。

由于罗素的悖论，数学大厦基础上出现了一条裂缝。罗素悖论不仅触及到整个数学基础的理论，而且还牵涉到逻辑推理与论证。因此，这个悖论的出现立即引起了西方数学界、逻辑学界极大震惊，导致了数学发展史上的第三次数学危机。为了解决这个悖论，20世纪初整个数学界投入了极大的精力。

由于逻辑学和集合论的对称性，在逻辑上的悖论也可以以集合论的形式表达，反之亦然。古代楚国那位买矛购盾者所提出的矛刺盾之问题，可归结为罗素的集合悖论和哥德尔不完备定理。这个问题无法证明，也无法证伪。问题仍在，如果解决呢？

更重的是，数学理论基础已经有破绽，其中理论体系也就不可靠，所导出的理论也可能错误荒谬，而数学又是众多的学科的工具与基础。这是非常严重的问题……数年后，策梅洛（Zermelo）和弗伦克尔（Fraenkel）等提出的ZFC公理系统后，使悖论问题在形式上得到了解决，但实质上更深刻地以其它形式存在着。

罗素悖论和哥德尔不完全定理告诉我们，自相矛盾的阴影将永远伴随着我们人类，它应该是宇宙本质的不完备性造成。数学家们的孜孜不倦追求，仅仅是尽量让理论的矛盾缩小到其应用不给社会带来重大损失和灾难的程度。

在社会与生活中，人们也充满了矛盾的困境，做事、说话时常说成语与俗语自相矛盾。一说，男子汉大丈夫，宁折不屈！可又说：男子汉大丈夫，能伸能屈！一说，亡羊补牢，未为迟也！但又说：亡羊补牢，为时已晚！这是人性自身的自相矛盾心里与社会生活复杂性相互作用而导致的必然结果。比如鲁迅，他是新文化运动的领军人物，不倦地向传统封建道德观念发起强烈的批判。他首当其冲的是封建主义的“忠孝”道德观念。然而，就是鲁迅，为了对母亲尽孝，不使寡居的母亲伤心，接受了家中安排的妻子，而同时又让许广平当二奶小妾。

人的个体如此，群体亦是。任何时代，都有相当一批人在道德认识（或者仅仅在语言文字上）走（或者书写）在了时代的前列，而在道德行为上却还停留在相当落后的时代。源自希腊文的民主（δημοκρατία）一词，是一件漂亮的画皮，历史至今一直象奴隶一样被人到处滥用，有的甚至岸然冠入国名。然而，他们所施行的实际上是“现代奴隶制”，与民主对立。

近年来医学生物科学的发展，让人们对人类自相矛盾有了更深入的了解。研究表明，自相矛盾是人类自身演化的结果，它或者是人类自身最好的生存状态。传统脑科学的双半球理论认为，人的大脑分成左半球与右半球，从神经生物学角度给出了一种新的解释：人类的大脑天生就有一种“自相矛盾性”，而且这是人类发展过程中自然选择的必然结果。自相矛盾反应可能是思维深刻性，不深刻者不矛盾。人类的语言与举为常常相反，原来已植入基因！这与逻辑学的悖论不谋而合。

我们应该大声宣教：“即使人类生物上有缺陷，推演事物规律的逻辑学是不完备，但这些都不应成为不义之举的借口！”

呜呼，尽管我们可以心怀梦想，而荒诞者们将一意孤行，任何努力和企图都对他们无济于事，最终结局已定……

(2022年7月17日于波士顿郊外)

《华夏快递》 2022.7.19
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酒在人类历史中，角色不逊。它虽然只有人体所需要的部分营养，但它能提供足够的能量，让人行为，甚至激发灵感。
混合酒的力量有时比纯酒更为强大。经过大量思考与试验，终于找到了各种酒的最佳比例，将中国酒日本酒美国酒欧洲酒混合，炮制成超级鸡尾，痛饮三杯。微醉、略愁。

散步里解忧，思考中觅乐。
独自走在郊外树林边的小路上，远处的路灯和天上的月牙给出的光量，仅仅只够让人看见脚前的石头或小坑，勉强不止于让人摔倒。

突然，远处迎面飘出一个黑影，吃了一惊。
谁会在荒凉的晚上独自散步？他的精神是否正常？走进一看，原来是一位交往多年的知心老友。除了同时闻到对方淡淡的酒精味，都觉得对方没有什么异样。

哥儿俩会心一笑，又开始了泛想漫谈，意识流开始在林间飘逸……
话题一打开就无边无际。

古希腊春秋战国耶路撒冷世界大战荷马史诗神曲浮士德牛顿爱因斯坦红移现象弦论统一场论苏格拉底亚力士多德黑格尔马克思尼采弗洛伊德缘分慧根信仰生命观价值观世界观宇宙观生死观神性人性狼性……

我又提到《精神亦是物质》一文，该文有一推论是“物质也是精神”，而精神存在的形式相对缥缈；另一个推论是“音乐是四维能量流，自然缥缈。”
又云：“缥缈也不虚无，缥缈並非万事皆空。”
……
电场缥缈，
磁场缥缈，
引力场也缥缈；

音乐缥缈，
思想缥缈，
精神也缥缈；

情缥缈，
爱缥缈，
恨也缥缈；

过去缥缈，
现在缥缈，
将来也缥缈；
……
一切缥缈。
……

走着走着，在不知不觉中，离开了那幽暗而又弯弯的小道，踏上了一条明亮而笔直的大道。
伴随着路旁的灯光，这条大道慢慢地伸向遥远缥缈的地方……

（2022年6月26日于波士顿郊外）

实际上，获取财富之术乃技术或者诈术。无论靠一技之长谋生，还是靠偷盗之术苟且，大至如此。猎财肯定需要劳作和一定的智力，与智慧关系不是太大。

财富在社会生活中的重要性无需赘述。没有一定的物质条件，不但生活上会困境不断，甚至个人或家庭生命都会受到威胁。财富可以帮助人们获得物质享受：营养丰富的的食物、安全舒适的环境都离不开金钱财富。特别是当身体生病时，可以聘请名医治疗，购买名贵的药材而帮助康复。用金钱换取精神上的健康，似乎要更困难一些。如歌影巨星张【1】，他的能演善唱，技艺高超非凡，曾获取亿万资产，但最终並没有换来精神上的健康。

尽管财富能带来闲暇与安逸，但许多人並不是借此机会来修炼自己而获得智慧，而是敛财成性，永不知足。他们有的一意孤行，迷失方向，误入歧途，最终折戟流沙。纽约商人马道夫（Madoff）【2】就是如此。当今世界，随时可见美国的马道夫，中国的牛道夫；昨天有，今天有，明天还有，甚至更多。

财富固然重要，但是有时可能成为智慧的绊脚石和枷锁。物质可能会成为人们过于安逸的温床，使之失去苦索追求的动力。人类文明史上的巨匠宗师苏格拉底（Socrates)、柏拉图（Plato)、亚力士多德（Aristotle)如果家产万贯，妻妾成群，或许他们会沉湎于酒色，难有光辉的思想与卓越的成就，人类的文明的总体进程可能由此而不同。奥德修斯（Odysseus)是古希臘巨著《荷马史诗》的智者与英雄，其实他只是一个普通人，武功一般，但智慧超群。他把自己绑在桅杆上去聆听海上女妖迷人的歌声。他享受了美妙的旋律，但並不失身。这就是智慧的控制力……

注：【1】C.K.W.,香港歌影巨星，2003年自尽时资产过亿。享年46岁。

【2】Bernard Madoff, 纽约投资顾问，亿万富豪。投资证券公司创立者，曾任纳斯达克主席，美国历史上最大的诈骗案制造者，涉案资产约500亿美金。2009年被判150年监禁。

（选自金熊《当代启示录》。初稿：2015年1月25日, 定稿：2022年6月5日。）

多年前，由于某种原因，由城市移居某省最偏僻的小村，一个叫做塘口的地方。正值上学年纪，我和村童一起在村民办小学发蒙。

这是一个非常特殊的学校，电影小说中都不曾出现过。所谓学校，实际是陈家祖堂。由于长年失修，大门与后门都不知去向。老师用隶书在竹片上写下“塘口小学“四个字，挂在大门口的柱子上，在风中摇曳。在雨雪天气，祖堂一半作牛棚，一半做教室，人牛混杂，是一座真实的牛棚学校。牛是农村的宝贝，农民以为牛的健康比小学生上课重要，让半边给牛，是理所当然的事情。尽管不时有村民打扫，但地上还是时时散发着淡淡的牛粪气味。村民在一条经常沉船的河里, 从泥沙中捞挖出一些船板，做成课桌。课桌不稳，容易摇摆。板木半朽，桌面凹凸不平，写字时铅笔经常穿透本子; 船板不够，没做椅子，学生需自带或站着上课, 这也意外地让一些学生练出了笔力。学校已有一、二两个年级。但由于只有一间大堂，二个班只能同在一个课堂上上课。教室里仅有一块黑板，老师在黑板中间划了一条宽宽的分界线，一分为二：左边一年级，右边二年级！老师前半节课给一级、后半节给二年级讲课。我所在的一年级约30名学生，二年级约20名，满满一堂。恶劣的天气里，一年级放假，空间让给牛。

当时全国农村流行的一首打油诗：“民办民办，破破烂烂。学生留级，老师滚蛋。” 这首歪诗很可能源自于塘口村的土秀才。前二句是准确的，但后二句应该是幽默打趣。实际上，尽管学校条件极差，但先后任教的几位老师个个都十分敬业。他们和社员一样拿工分，没有任何现金收入，生活非常艰苦。然而，他们备课、教学、改作业都非常认真，所教授的内容准确无误。这从我后来顺利通过各种相当艰难的考试，並从师于世界著名数学家得到了证明。《自然常识》任课老师除了讲习课本上的内容，有时还带我们去山间田野辨认不同的草药，观察昆虫习性，这大大加深了我们对大自然的喜爱。

几年后，师生和村民一起自建一栋学舍，将祖堂全部让给了牛。竹片校牌转挂在新学舍的大门上。新校条件仍然简陋，但装有电灯，备有办公桌。夜晚，老师们和村上的文化青年们经常在学校下象棋和演习民间音乐。开始有不少同学和村民聚集，但村民们很早就全部离去，同学们也逐个回家。我是唯一伴同他们直至深夜的学生。

时光不返，人世沧桑。塘口小学早已关闭拆除，祖堂也倒塌了。令人忧伤的是，已有数位同学由于不同原因，年轻时就不幸离世。老师们也全部失联，不知去向。学校太微不足道，在任何地方无任何记录。她消失得无踪无影!

夜幕降临。在星光点点的北美夜空中，从遥远处似乎传来了母校里同学们无忧的童声和老师们忧伤的二胡声……

（2021.6.29深夜于波士顿郊外）

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在一个晧月当空的夜晚，张三由北向南、李四由南向北偶遇于村前晒谷场。张三告诉李四：“我发现月亮一直跟着我走，所以它南偏移！”李四不悦：“不对，我倒发现月亮一直跟着我走，它应该向北偏移。”二人又开始争论。张三为了证明自己有学问，在地上打了几个滚。李四大笑：“你输了，在地上打滚转圈也没有用！”张三爬起来说道：“此言差唉！根据相对运动原理，刚才是地球绕着我转了几圈。”二人为月亮跟谁走、地球是否跟张三转的问题争论不休。

突然过来一位智者。两人自我介绍后，将刚才发生的一切告知智者，並问他这是什么现象，智者笑而不语。张李追问再三，智者告诉他们：“知人者智，自知者明也。尔等之事乃 ‘张三李四现象’。” 张三李四对视片刻后举目望空，鄂然。旁观村民哄笑。张婶冲着丈夫：“张三你这冤家，今晚喝高了吧！”李嫂愠怒：“李四你这死鬼，晚饭撑着啦?” 智者长叹。

良久寂静无声。渐渐地，众人像幽灵一样一个个消失在惨淡的月色中……

（选自金熊《瓦尔登湖畔沉思录》，又名《当代启示录》。 2020.1.5)

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可以说，世界上每个人都接受过许多各种各样的恩惠：父母的养育、兄姐的领带、师长的培养、亲友的帮助…还有社会群体的协同与支助。

文学作品《鲁宾逊漂流记》原材于一个真实的故事。鲁宾逊由于海难，被迫在荒岛上独自生活多年。他离开群体的日子说明，没有社会群体，获得最基本的生存条件都困难重重。他为了吃上面包，从开恳、种植、收割、脱粒、磨麦成粉，到最后做成面包，经过数个月的劳作才做出几个粗糙的面包。到那时候，他才深觉落荒前在社会中随手可得的面包，若是只有个体劳动，获得是如此不易。他或许猛生感恩之情呢。

感恩可物质，也可精神。我们可以向施恩者寄钱、送物来表示，也可以用书信、电话、微信来表达，甚至怀存感激之心、感恩之意亦属感恩形式。随着时间的推移，许多施恩者渐渐逝去，精神感恩的成份逐渐变重。

感恩不限于个体，群体也如此。异地社会文化原创的科技、文化、宗教信仰对当地的精神和物质所产生的巨大价值，也属于感恩的范畴。当人们乘坐飞机自由翱翔在城市之间、当人们驾驶越野SUV奔驰在原野的公路上、当人们沐浴在繁华都市的霓虹灯中、当人们随意拨弄智能手机通讯或娱乐，难道不应该感恩于发明者或孕其发明的文化？……

我们所处的地球，位于八大行星中天文上最好的适居带上。我们生活在活跃恒星——太阳的广袤大气层中。虽然阳光是生命必须，但太阳的变化会产生高 能粒子流和辐射，它危害生命、突变其发展进程。但地球有着适当的在磁场和大气层流，在这些的保护下，我们才得以在安居乐业，兴盛发达。我们的太阳系，位于距离银河中心一个不远不近的地方，距离银心大约2.6万光年的位置, 比如距离我们最近的比邻星，大约在4.24光年以外。这个位置是非常稀少、特殊而难得的。在位置上，恒星的密度比较低。如果太阳距离银心更近的话，情况就大不相同了，恒星的密度要比现在大100倍以上。这些恒星之间的相互引力作用，或者辐射作用，再或者其他人类尚不知晓的作用，都有可能导致所有生命的灭亡。我们生活在拥有如此之多的极好天文条件的地球上，真是值得感恩于造物主神妙无比的安排……

感恩並不困难，感恩本身就是一种恩典。现实向人们显示：感恩者心平康健，感恩群和谐发达。这应该是社会的基本规律。

感恩者，福也。

(2021.11.25, 感恩节)

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(2019.11.10)

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自然界的景色，如雪山、草原、明月、晚霞的美都难以言状。人工制作的盆景虽悦目，但无法与真实的自然界媲美。绘画、雕塑作品虽美，但也不及模特本身具有魅力。自然界的声音中，如雀叫鸟鸣也算悦耳。但是，风声、雨声、雷声、火山爆发声、狼嚎虎吼等都缺乏美感。人类创造的乐音：协和的无伴奏合唱、醉人心扉的小提琴旋律、震撼灵魂的交响曲…她弥补了自然中的缺憾。音乐是一门超越自然的艺术。

音樂不應該是獵取名聲和金錢的工具。名聲和金錢可能是音樂的副產品而不是音樂本身。音樂的价值異於市俗理念，因為她是靈魂的哭泣和歡笑而無法定价。

(2019.8.4)

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