既然罗素悖论冲击了数学的基石，数学家们自然不满足对集合论做这样技术上的修修补补，他们还努力从哲学和数学基础上来完善这一数学基石。
罗素认为，悖论的生产源于逻辑矛盾，逻辑理论基本不完善才导致了数学理论的缺陷，所以他试图把数学问题归化为逻辑矛盾，并进行了一系列的改进逻辑理论的有益工作。他和他的合作者怀特黑德(Alfred North Whitehead)分别在1910，1912和1013年分别发表了三卷著作<<数学原理>>，阐述了他们在逻辑论中改善基础数学的工作和他们对一些数学公理的评论。
但最终，人们认为，这些数学公理并不是逻辑完善的， 对此罗素本人后来也是承认的。所以<<数学原理>>不是逻辑主义理论的成功标志。另外，如前所述，按逻辑理论把集合区分为集和类，大大增加了集合概念在数学基础理论中展开的难度，所以罗素又引入可归化公理，以降低集和类分化的复杂性，而这实际上等于取消了集和类的划分。由此，正如罗素晚年所述:“我所一直寻找的数学光辉的确定性在令人迷惑的迷宫中消失了“。
但无论如何，罗素等逻辑主义者的工作还是极大地促进了数学公理系统和基础理论的深入研究。
在逻辑主义盛行的同时，另外一些哲学家和数学家从另一个角度来尝试彻底消除数学悖论的可能性，这就是直觉主义论者，主要代表人物是荷兰数学家布劳威尔(Luitzen Egbertus Jan Brouwer)。他们认为，数学悖论的出现是整个数学体系染病的征兆，是数学基础不可靠，不完备的表征。所以，有必要按可靠性，可信性的标准对数学进行全面的审查，放弃那些不可靠的数学概念和方法，彻底改造数学基础理论。
那么怎样改造数学基础理论呢? 他们认为只有靠直觉才能促进数学的完备性。他们否定了传统逻辑理论，排斥数学中的实无限概念和相应的方法，企图修订大部分传统的数学基础理论。其结果是把数学理论搞得支离破碎，这类似文革中怀疑一切，否定一切的行为，结果是直觉主义无疾而终。一个逻辑严密，深刻抽象的数学体系怎么能够靠直觉就能改造? 数学理论中的众多的概念和结果都是违背人们直觉的。
德国数学家希尔伯特(David Hilbert)同样怀着完备数学理论基础， 消除悖论的初衷创立了第三个学派，形式主义学派。希尔伯特是二十世纪最伟大的数学家之一，在几乎所有数学领域的作出过重要贡献，他在1900年的国际数学大会上提出的23个纲领性问题，曾经指引着整个二十世纪各个数学学科的研究方向。虽然希尔伯特的基本出发点与逻辑主义者和直觉主义者一样，但他使用的方法却完全相反。他努力尽可能地保留现有的数学概念和方法，特别是实无限的概念和相应的方法。
形式主义者认为，在现实生活中，在物理世界，没有无穷大和无穷小的概念以及无穷集合，但无穷大却渗透在数学的各个领域中，有理数是人类最早发现的无穷数列，而在此基础上建立的实数理论以及相应的无穷势更是把无穷概念发展到一个新的高度。实际上，现代数学理论中的任何基础理论和核心概念，如极限，级数，集合，测度论，分形几何以及泛函分析，都与无穷紧密地联系在一起。这些在数学中具有无穷性质的理想元素和抽象理论，不可能在现实中依靠直观经验得到验证，而是必须按照数学本身的逻辑规则和合理性来检验，也即内部的无矛盾性，保证不产生任何悖论。只要能够证明这些包含理想元素和抽象概念的的数学理论内部无矛盾，那么该数学理论就是完备的。
那么怎样才能够证明包含理想元素的数学理论内部无矛盾呢? 为此希尔伯特提出了用形式系统来重新组织数学理论的想法，即他把数学理论看作为可以用有明确形式进行改造和变形的系统。由于数学中的理想元素并不具备真实的现实意义，所以我们只要证明用改造后的抽象数学理论形式上无矛盾，就能够证明该理论的内容也无矛盾。希尔伯特认为，数学研究的中心任务是用有限的方法去证明经过形式化改造的数学理论的无矛盾性。
正当形式主义学者热衷于用形式系统改造数学理论的过程中，并且乐观地感到他们心中的理想即将实现时，奥地利数学家哥德尔证明了不完备性定理，彻底颠覆了形式主义者对完备数学理论的宏伟憧憬。据记载，哥德尔也是希尔伯特的忠实追随者，致力于用形式方法去证明数学理论的完备性，但没有想到种瓜得豆，反而证明了它是不完备的，置形式主义者于非常尴尬之地，从而也证明了希尔伯特追求的宏伟目标是不可能实现的。
哥德尔不完备性定理是二十世纪初最完美的数学理论之一，爱因斯坦曾把哥德尔的不完备性定理与他的相对论相提并论。它颠覆了我们对数学理论严密的逻辑性的认知，一些看似逻辑严密且自洽的数学理论本身有内在的矛盾。
哥德尔不完备性定理由两个分定理组成。第一不完备定理表明，任何可数的公理系统，其自身的无矛盾性，或者其内部的完备性在该公理系统中是无法得到证明的，总是存在一个这样或那样的命题，不可能用其内部逻辑证明为真或者证明为错。
在这一不完备定理中有一个先决条件，该公理系统必须是可数的，即它的内部元素可以用加减乘除进行计算和表达，简单地说，它可以与自然数建立起一一对应关系。我们也可以反向描述这个定理，没有任何可数公理系统能够完备地表述自然数系统，因为系统内总是存在不可证明的关于自然数的命题。
哥德尔第一不完备定理并不让我们感到意外，因为任何形式公理系统不包括足够的公理， 例如，如果没有平行线公理，欧几里德几何体系是非完备的。当欧几里德几何体系经过平行线公理补充后，就形成了一个完备系统，而平行线公理本身是不能够被证明是真或者是伪的。
康托的集合论非完备性也由于罗素悖论的发现而暴露无遗，但我们加入ZF公理后，集合论就完备了。只要我们建立集合时遵循ZF公理，就完全可以避免任何集合内部矛盾。
哥德尔第二不完备定理比第一不完备定理更进了一步。我们可以这样陈述这一定理，每个充分自洽的形式公理系统不能够证明自身的自洽性，用通俗的语言来说，每个形式公理系统不能够说自己是对的。
如果我们要证明它本身的自洽性，我们必须借助另一个更强大的自洽公理系统。例如意大利数学家皮亚诺(Giuseppe Peano)在十九世纪建立的自然数公理系统，但我们不能够用自然数理论本身证明它自身的自洽性，无矛盾性。要证明自然数公理的自洽性， 我们必须求助于康托的集合论。
哥德尔不完备性定理的发现，意味着希尔伯特意图用形式主义的公理方式来改造数学理论的努力归于失败。但这些尝试还是给后来的数学研究带来的积极的影响，使人类对抽象的数学世界有了更深刻的理解，促进了各类新的数学理论的诞生和进一步发展。
在坚实的实数理论和经过修正的集合论基础上，诞生了一门新的现代数学分支，泛函分析。它研究的对象不是数，而是函数以及函数之间的相互关系。泛函分析起源于经典的数学物理问题，变分问题。如今泛函分析已经在理论物理，工程力学计算，概率论，数值优化等领域有着广泛的应用。
一个我们经常看到的例子是一个钢球从一定高度顺着一条轨道往下滚动。我们业已知道，如果钢球顺着直线轨道往下滚，所需的时间不是最短的。那么我们选择什么样的轨道才能够使它在最短的时间内达到下面指定的地点? 这就是一个典型的泛函分析例子。
在这个例子中，我们需要求解的不是一个数或者一组数，而是一条曲线，也即一个函数。这是工程实践中经常出现的泛函分析问题，或者优化问题。
另一个例子是弹性力学的变分原理，也称为最小势能原理，或者里兹变分原理，因为它由瑞士物理学家里兹(Walther Heinrich Wilhelm Ritz)于1909年首先发现的。
最初的弹性力学基本理论是一组偏微分方程，但如果我们直接用这组方程来求解结构复杂的工程力学问题，这无异于天方夜谭，我们根本就不能够求得任何解析解，甚至近似解都不可能。里兹的变分原理给我们求解这样复杂的偏微分方程组带来了希望， 因为我们可以严格地证明，里兹变分原理和弹性力学方程组完全是等价的，即满足里兹变分原理的函数一定满足弹性力学方程组，反之亦然。
在里兹变分原理的基础上，我们就可以把求解偏微分方程问题转化为数值优化问题，求得精度足够满足工程需求的近似解。这也是促进泛函分析理论蓬勃发展起来的原始动力之一。
如果想通过泛函分析求解函数中的函数，我们必须首先定义完备的函数空间，保证所有的函数经过多次运算后收敛于该函数空间，从而保证求得的解是我们希望得到的解。
最简单的函数空间是度量空间。当然，还有许多其他的函数空间，我们在这里就不一一叙述啦。在函数度量空间中，我们必须给函数之间定义一个距离ρ。这一距离可以是我们平常用到的两点之间的距离，也可以是非常抽象的距离。如果x和y是函数空间的两个连续函数，它们之间的距离必须满足以下三个基本条件，
1) ρ(x,y)≥0, 又ρ(x,y)=0的充要条件是x=y;
2) 三角不等式成立，ρ(x,y)≦ ρ(x,z)+ ρ(x,z);
3) 对称性成立，ρ(x,y)= ρ(y,x)。
事实上，如果距离满足前两个条件，我们就可以推导它也满足第三个条件， 所以第三个条件并非必要条件。
例如，我们可以在区间[a,b]内对所有连续函数C[a,b]定义距离ρ，那么它们之间的距离由以下公式定义:
ρ(x,y)=max|x(t)- y(t)|, t∈[a,b]。
同样，我们可以在多维向量空间定义距离，例如我们熟悉的三维空间，
ρ(x,y)= max{[(x1(t)-y1(t) ]²+( x2(t)-y2(t) ]²+[x3(t)-y3(t)] ²}^(1/2) , t∈[a,b]。
可以证明，这样传统的距离定义满足距离的三项基本要求。
我们也可以用非传统的方式定义距离，例如:
ρ(x,y)=max[|x(t)- y(t)|/(1+|x(t)- y(t)|)], t∈[a,b]。
这一距离的定义也满足距离的三项基本要求。
在定义泛函空间的完备性时，我们必须把柯西的极限收敛条件移植到度量空间。设(R, ρ)是一度量空间，{x1,x2,…xn…}是R中的函数点列。对于任意小的正实数ε，存在正整数N(ε)， 当自然数n，m >N(ε)时，两个函数之间的距离满足下面不等式，
ρ(xn,xm)< ε
那么函数点列{x1,x2,…xn…}就是度量空间R中的一个基本函数点列。当所有的基本函数点列都收敛到自身的度量空间R， 那么这一度量空间就是完备的， 如我们前面定义的连续函数C[a,b]和相应的距离就构成了完备的度量空间。
但如果我们用多项式空间P[a,b]代替连续函数空间C[a,b], 那么在同样的距离条件下，这一度量空间就是非完备的， 因为我们可以定义一多项式数列:
P(t)= 1+t/1!+t²/2!…+t^n/n!，
我们知道，这一多项式数列收敛后不再是一个多项式，而是一个指数函数e^t。
反之，如果我们保持连续函数C[a,b]不变，而是用积分重新定义函数空间的距离:
ρ(x,y)=∫ |x(t)- y(t)|dt，t∈[a,b]。
那么，这一度量空间也不是完备的， 因为我们可以找到连续函数序列最终收敛于不连续函数,例如下面的阶段线性连续函数，当n->∞时， 就收敛于两段相互不连续的直线:
xn(t)=1, c+1/n <t≦b
xn(t)=线性, c-1/n<t≦c+1/n
xn(t)=-1, a≦t<c-1/n
总之，一个度量空间是否完备，既取决于函数空间本身，也依赖于其中距离的定义。
度量空间的完备性保证我们选取的近似函数序列逐渐收敛到我们需要求的解，是泛函分析理论中非常重要的一环。
当然，泛函分析经过一百多年的发展和完善，已经是一门内容丰富繁浩的数学分支，其中涵盖着远远不止完备性这一概念。
数学理论经过两千五百多年的跌宕起伏的发展演变，生产过无数的概念和无数的悖论危机。而在化解这些困惑人类的悖论过程中，柯西的极限理论发挥了极其关键的作用，使人类对数和与其相关的概念的理解有了新的飞跃，使数学理论一一完备起来。
或许今后某个时间哥德尔不完备定理会再次兴妖作怪，掀出一个新的悖论，让数学家们头疼不已?
(完)
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