当时，极限理论还没有诞生，无穷小的概念还不为众人所知，但在微积分理论却用到了无穷小这一概念。它等于零? 还是一个变量? 或许是其他什么? 牛顿和莱布尼兹都没有对它进行严格的定义。于是科学家在应用它时常常陷入茫然。而牛顿本人一方面用无穷小量做分母进行除法，而另一方面则把它看作零，与它相乘的项都被他看作零而删除掉。最终这些矛盾的做法令人不解，因为大家知道，零是不能做分母的。人们要问无穷小究竟是不是零?
因此牛顿的做法遭到众人的诘难，而在这些诘难的人群中又以当时既是哲学家又是天主教大教主的人士，贝克莱(George Berkeley)最为有名。他看到了当时有些数学家用微积分证明了哥白尼(Nikolaus Kopernikus)的日心说是正确的，于是恼羞成怒，专门出版了一本书来攻击微积分的无穷小概念，指出无穷小是一个严重的逻辑混乱， 如果是零，牛顿如何能够用它作分母? 如果不是零，那么又为何舍去和它相关的项?
而牛顿的回答则相当苍白无力，他只能说，无穷小是相当小的量，可以忽略不计。也有人用微积分推导出的物理结果的正确性来论证微积分的正确性。
显而易见，这些忽略了数学逻辑严密性的回答不能令众人满意，于是数学的发展陷入第二次危机时期。我们今天在学习和应用微积分理论时，往往不会想到，它在两百年多前经历过那么一段几乎被人颠覆的心酸往事。
人们在关于无穷小的不断争论中经历了悠悠一百多年的岁月，才迎来了问题的彻底解决。1821年，柯西在著作<<代数分析教程>>中对极限理论作出了系统的阐述，并详细严密地定义了极限，无穷小，高阶无穷小，无穷大等等一系列的数学基本概念。在此基础上，他还定义了导数，微分和积分的运算方法。
在他的极限理论中，极限是某个变量的一系列的值无限地趋近一个固定的数，与这个固定值的差别无限地小，则这个值就是极限。无穷小也是一个变量，其绝对值无限地减小且收敛于零，而又不等于零。而导数y´是函数变化值Δy与变量变化值Δx之比Δy/Δx的极限，微分进一步是导数与变量变化值Δx的积dy= y´•Δx。积分则是微分的逆运算，即求导数的原函数，F(x)=∫ y´dx。
于是，在柯西的理论体系框架内，牛顿-莱布尼茨的微积分理论得以完备。
但更确切地说，我们现在在数学分析中通用的ε-δ极限定义，则是魏尔斯特拉斯在总结前人的理论基础上完成的。他把微分，积分建立在严格的极限理论基础上，消除了微积分理论中的矛盾，彻底战胜了微积分悖论。
我们可以看到，数学第一次危机和第二次危机之所以得到解决，柯西和他的极限理论居功甚伟。极限分析是整个现代数学分析的一块最具分量的基石，几乎在数学的各个分支里，我们都可以看到它的影子。
但微积分理论并没有停止进步。在牛顿-莱布尼兹积分理论中，我们只要要找出原函数，积分问题也就迎刃而解。但在实际工作中，有些函数是相当复杂的，要找到原函数相当并不容易。对于某些特殊函数，在理论上就根本不可能有原函数,例如，魏尔斯特拉斯函数。这是一个相当特殊的，由无穷多个余弦或正弦函数组成的级数，是魏尔斯特拉斯在1872年发现的，并且证明了它处处连续但却处处不可导的奇异特性。 对于这样的奇葩的函数，不存在原函数，我们想要对它积分自然是不可能。
如今我们知道，魏尔斯特拉斯函数其实只是一类特殊函数，分形曲线的一个具体例子。这是一类有别于传统直线和曲线的曲线，我们在自然界可以观察到的许多分形曲线，如雪花的精巧外廓曲线，辽阔的海岸线等等。它们处处连续，但却处处不可导，同样也是在牛顿-莱布尼兹条件下不可积的。用通俗的语言来说，它们极其不规则，处处不光滑，处处无切线。
随之而来的问题是，什么函数在牛顿-莱布尼兹条件下是可积的呢? 为了回答这一问题，德国数学家黎曼(Bernhard Riemann)发展一种崭新的积分理论。他的具体做法是把积分区域划分成很多的小区间，[a0，a1]，[a1，a2]…,[an，an+1]…，然后把这些区间的的长度，l1，l2，…，ln，…，与函数值相乘，并求其和。当n->∞时，这一和就收敛于某个值，也即这个函数在这一区间的积分值。
然而，黎曼积分仍然不完备。首先，黎曼可积函数必须在积分区间是有界的，其二，它在积分区间的间断点是有限个。这限制了它在一些特定条件下的应用，例如面对德国数学家狄利克雷(Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet)于1837年在区间[0,1]内构造的一个函数，
fx={1,x=有理数， 0,x=无理数。
我们如今不知道狄利克雷出于什么动机构造了这一函数，是对数学的纯粹好奇，还是故意要挑战黎曼积分，但结果是这一函数黎曼不可积的，把黎曼积分的缺陷暴露出来。因为不管我们把区间划分得如何小，按实数理论，我们都能够在每个区间找到无穷多个0和1，它的值振荡无穷次，所以不可能求黎曼和，黎曼积分也不可能收敛。
法国数学家勒贝格(Henri Léon Lebesgue)创立的一类新积分填补了黎曼积分的这一空白。不同于黎曼积分，勒贝格在康托集论的基础上建立了测度概念，不是把积分区间划分为各个更细小的区间，而是不同点集，然后求各个点集的测度。按勒贝格的测度理论，在区间[0,1]有理数的测度为0，而无理数的测度等于1，所以狄利克雷函数可积，并且积分值等于0。
勒贝格的贡献使得积分理论进一步完善，但整个积分理论并没有就此十分完备，因为至今有许多函数，例如我们前面提及过的魏尔斯特拉斯函数和其他众多的分形曲线在勒贝格积分体系下仍然不可积，因为分形曲线的传统长度趋于无穷，同时也不存在勒贝积分理论下的测度。
正当数学家们欣慰地看到在康托集合论基础上建立的现代数学大厦渐渐完备起来时，他们却迎来了新一轮的数学危机。正是在数学的奠基石康托集合论上出现裂纹，史称罗素悖论，因为英国哲学家，数学家罗素(Bertrand Arthur William Russell)是发现这一悖论的第一人。据历史记载，罗素是在给一位数学家朋友的一封信里通告了他的发现，使整个数学基础研究陷入尴尬之境。因为在此之前，数学家都认为在直觉基础上建立起来的集合论是坚实可信的。罗素悖论从而诱发了历史上的第三次数学危机。
康托在他的集合理论中把集合定义为满足一些特定性质的元素的组合，如一组自然数，或有理数，或者一类函数，等等。元素的个数可以是有限的，也可能是无限的。康托在他的集合中引入了排中律和矛盾律，即对任意元素a和集合M,要么a属于M，要么a不属于M，二者必具其一，但不能同时成立。
在这一基础上，康托定义了幂集，即一个集的幂集是所有子集的集合，例如，一个集M={ø,a,b}，其中ø为空集。则集合M的幂集按康托的定义为PM= {ø,a,b,(a,b)}，(a,b)就是集合M的一个子集。
我们可以看到，集合M拥有三个元素，其幂集则多出一个元素。所以相对于集合和幂集之间，康托用反证法推导出一个用他本人名字命名的康托定理。这个定理由两点组成，第一，集合可以与幂集的某一个子集建立起一一对应关系，比如在上面的例子中，{ø,a,b,}⬄{ø,a,(a,b)}就是一一对应关系，第二，集合与幂集之间则没有一一对应关系。这一点在上面的例子中是显而易见的。
由这个例子我们可以看出，幂集所包含的元素比集合本身要多。如果一个集合的基本元素有无穷个，如有理数，则这个集合的势也为无穷，进一步它的幂集的势是更大的势，幂集的幂集的势又会上升一阶梯。康托进一步用反证法做出推论，集合没有最大势。在一些文献中集合的势也被称之为集合基数。
无最大势定理在集合论中极为重要，是集合论的基石之一。而最富悲剧性的是，正是康托证明这一定理的方法启发罗素发现了集合论自身内部的悖论，使集合论陷入几乎崩盘的境地。所以我们如想理解罗素悖论真正的内涵，必须首先简单地回顾康托证明最大势定理的推导过程。
首先，康托假设在集合M和它的幂集PM之间可以建立一一对应关系，并用f来表示这一对应，那么集合的每一个元素x都对应幂集中一个元素fx, x <=>fx。在这一假设的基础上，康托证明出矛盾的结果，于是得出集合不可能和它的幂集之间建立起一一对应关系的结论。
他的具体做法是，用集合M中所有不与fx对应元素建立一个子集M´={x,x∈M, x<≠>fx}。既然M´是M的一个子集，那么M´就是幂集PM的一个元素，于是按集合M和幂集PM的一一对应关系，在集合M中必然有一个元素z与之对应，z <=>M´= fz。
按排中律，必须有z ∈M´或者z /∈M´，二者必居其一。 如果z ∈M´， 按集合M´的定义，z<≠>fz，这意味着z /∈M,也即z /∈M´，与假设前提矛盾。又如果z /∈M´，则又根据M´的定义，z<=>fz,那么z ∈M´，再次导致矛盾的结论。
所以康托得出结论，既然集合不可能与它的幂集建立一一对应关系，进而推论集合没有最大势，也称康托定理。
顺着康托的推理思路，罗素看出了康托集合理论的内在矛盾。罗素构建了一个那些不属于自身集合的元素所组成的集合，S={x,x/∈x}。按排中律，S∈S,要么S/∈S，但一旦S∈S，则按该集合的初始定义必须有，S/∈S，于是结果与前提矛盾。如果S/∈S，则我们又推导出S∈S，还是矛盾。
如果说罗素悖论有些晦涩，那么说谎者悖论则相对容易让我们理解这类相同性质的悖论后面的逻辑矛盾。据记载，公元前六世纪生活在古希腊克里特岛上的哲学家埃比曼尼德斯(Epimenides of Crete)提出了这个悖论，他说克里特岛上的人都在说慌。由于埃比曼尼德斯本人就是克里特岛人，于是矛盾就产生了。如果他说的是实情，那么按他自己的逻辑，他是说谎者，那么真实的情况应该是岛上的人，包括他自己，并不是说谎者， 于是产生矛盾。但如果他从开始就在说谎，那么岛上的所有居民，同样包括他自己皆是诚信之人，这意味着他没有说谎，又导致矛盾。
所以，罗素悖论不仅仅暴露了作为整个现代数学基础的集合论的非完备性，同时也威胁到逻辑理论背后自身的逻辑性，逻辑似乎很严密的数学和逻辑学的逻辑性其实并不十分严密。
于是，怎样消除这一悖论，完善集合论的严密性，就成了摆在数学家面前的一道严峻的课题。众多的数学家进行过许多不同的尝试，提出过不同的理论以期望消除罗素悖论给数学奠基石带来的创伤。最早出现的而又比较成功的理论是德国数学家策墨罗(Ernst Zermelo)在1908年提出的公理化集合论，这一集合论在十年后被另一个德国数学家弗兰克尔(Abraham Fraenkel)进一步改进，所以这一集合论被称为ZF公理系统。按照这一理论，我们不能随便就可以从集合B中分离出一个子集A，而是必须满足某种特定的性质P,也即子集的每个元素同时满足两个条件,用数学语言可表达为，x ∈A和x ∈B∩P(x)。
按此逻辑定义，他们证明了从他们公理集合论可以展开并推导出所有以集合论为基础的数学理论，而且在他们的公理系统中可以排除类似罗素悖论这样的矛盾出现。
然而，有些数学家却看到了产生罗素悖论的根源，即在康托的集合里出现了太大的集合重新组成了新的集合才导致了悖论的出现，所以美国数学家冯诺伊曼(John von Neumann) 认为，只要设计一种理论可以防止在康托集合论中的超大集合，就可以有效地避免罗素悖论。同时他也认为，策墨罗等人的公理集合论排斥过多的集合，在一定程度上限制集合论的应用范围。按这一思维逻辑，他建立了一套自己的公理系统，尔后瑞士数学家贝尔纳斯(Paul Isaac Bernays)和奥地利数学家歌德尔(Kurt Friedrich Gödel)对此做了进一步的改进，所以该公理系统称为NBG系统。在这一系统中，集合被分成两大类，真集和类。真集可以成为别的集合的元素，而类则不可能，如康托在证明无最大势定理中建立的集合在NBG系统中就是类，不可能成为别的集合中的元素。由此，罗素悖论和其他类似的悖论在NBG系统中就得以避免。
与ZF公理系统相比，NBG系统把集合概念做了进一步的推广。可以证明，如果一套数学理论在ZF系统在自洽，那么它在NBG系统中也是完备的，而且NBG系统也没有导致新的悖论的可能性。于是，NBG系统是一种更广义的解决集合内在悖论的方法。
(待续)
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