人类对自然界的探索和寻究的冲动是永无止境的，这是人类区别于动物世界的根本性标志之一，也是人类从动物分离出来的原始动力之一。而在探索和研究自然界的过程中，人类必须精确定量地描述各类物质以及它们的运动规律，于是数学便应允而生了。
与其他学科一样，数学也处于不断的发展和改进过程中。在社会进步的各个阶段，人类发明过各种不同的数学理论，又不断地发现这些理论中的整体不完备性以及内部的自相矛盾之处，即悖论或详谬，然后加以修正，完善，或用新的理论代替。
悖论在不同的历史时期，不同的数学理论框架下产生的原因，解决的方法也各不相同，但随着每个悖论不断地被辨明和消除，数学理论就向完备性迈出了一大步。
那么究竟什么是悖论呢? 其实任何悖论都是在一定的数学理论以及逻辑条件下产生的， 如果给定一个命题或者推论为真，那么根据该理论和逻辑规律可以推导这个命题或推论为假。或者，如果认为该命题或者推论为假，则可以反之推导出它为真。
人类历史上最早的悖论可能诞生于公元前五世纪。古希腊哲学家和数学家芝诺(Zenon Eleates)提出了运动不存在悖论。这一悖论的诡异之处在于，它完全有悖于我们的日常生活常识，但那个年代的数学家和哲学家却不能找到有效的理论根据来驳斥它。
芝诺的著作早已失传，他的这一悖论是借助于其他两位古希腊哲学家柏拉图(Plato)和亚里士多德(Aristotle)的著作才得以流传于世。
芝诺用二分法论证了运动不存在，具体做法是，任何物体在达到目的之前，必须运动到目的地的一半处，然后再往前运动一半，第三次继续一半，如此无穷循环下去，这个物体永远不可能达到目的地，于是运动不存在。
如果这样的论证还不够显而易见证明运动的不存在，那么它的一个推论则更是令人瞠目结舌，即一个跑步运动健将永远追不上一只缓慢爬行的乌龟。假定运动健将的跑步速度是乌龟的十倍，而乌龟处于提前运动健将100米的位置。但按芝诺的逻辑，这位运动健将却永远追不上乌龟。首先，当运动健将完成100米时，乌龟已经向前爬完10米，运动健将仍然落后乌龟10米。从这个新的起点开始，运动健将再向前跑完10米时，乌龟继续提前1米。周而复始，这一过程无休止地继续下去，运动健将永远追不上乌龟。
以同样的逻辑，芝诺还提出了另外三个关于运动的悖论，以证明运动不存在。
这种显然违背常识的论证方式究竟谬误在何处呢? 古希腊数学家曾经试图用比例法和穷竭法来探究这一悖论的奥秘。他们认为，取去一个量之一半，再取去余量的一半，这样继续下去，所剩余量小于前面的量，所以最终这一总量之和应该是有限的。这是最原始的极限理论雏形。
不过芝诺悖论之荒谬到底还是没有被古希腊数学家彻底揭穿，从而这一悖论困惑了人类社会长达两千年之久，直到法国数学家柯西（Augustin Louis Cauchy）在十九世纪建立了逻辑严密的数学极限理论，人们才恍然大悟，原来这一数学上的无限过程的最终结果却是有限的。当运动健将跑到1000/9米的路程时，即111.111…多米，他就能够与乌龟齐头并进，然后超越它。
几乎在同一时间，同一国度，古希腊数学家希珀索斯(Hippasus of Metapontum)发现了另外一个数学悖论，史称√2悖论，也称无理数悖论。
那时候的古希腊数学家，对数学研究已经有非常高的水平，把经验数学发展成为推理演绎数学。他们利用当时的几何知识，严谨的数学逻辑证明了现在众所周知的勾股定理。这些证明推理过程，即使在两千多年后科学技术已经高度发达的今天，也有让人脑洞大开的感觉。
但他们对数的认知却还相当有限。当时古希腊的主流数学流派是以毕达哥拉斯(Pythagoras of Samos)为首的学派，他们认为，宇宙间所有现象都可以用整数或整数之比，即有理数来表示，他们把有理数与几何量等同起来，所有长度，面积，体积以及它们之间的比都可以用有理数表达出来。
正当他们陶醉在心中理想的数与宇宙的完美和谐中时，半路杀出了以一个程咬金，毕达哥拉斯的弟子希珀索斯。他发现边长为1的正方形的对角线长度√2不可能表述为有理数，也即它不是两个整数的比。他采用了反证法证明了他惊世骇俗的观点，假如√2是有理数，即它可以用两个自然数的比来表示，√2=n/m,n 与 m分别为自然数，而且它们互质，也就是它们的最大公约数为1。他把两边平方， 并乘与m²，得出2 m²= n²，所以n²是偶数。由于奇数的平方，仍然是奇数，只有偶数的平方才能是偶数，所以n也是偶数。令n=2p，则可以推导出，m²=2p²。同理可得，m也是偶数。于是n 和 m都是偶数，它们的公约数为2，而不是1，与题目的前提矛盾。所以√2不是有理数。
希珀索斯发现了无理数，是人类社会的幸事，但却是他个人的悲剧。他的发现，把人类对数的认识提高到一个崭新的阶段，但由于他的发现否定了毕达哥拉斯的信条，揭示了有理数并不能全面真实地反映数学世界，于是毕达哥拉斯恼羞成怒，残忍地把希珀索斯投入了大海，并且扬言，谁要是再提√2， 就把他开除出本学派。
在随后的岁月里，人类陷入了两千多年的对无理数茫然无知的数学暗淡时期。
完备的实数理论，包括有理数和无理数，是分别由德国数学家魏尔斯特拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass)，康托(Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor)，戴德金(Julius Wilhelm Richard Dedekind)在十九世纪下半叶建立的。
魏尔斯特拉斯的实数理论和康托的理论形式上仅略有差异，所以后人把他们的实数理论归为一类。而戴德金的实数理论则建立在一种完全不同的基础上，分割法。
魏尔斯特拉斯和康托在柯西极限理论的基础上定义基本有理数列a1,a2,….an…。当一个基本序列趋于无穷并收敛到一数时，它就可能是一个有理数，也可能是一个无理数。
那么什么是基本有理数列呢? 它就是一组由有理数组成的数列a1,a2,….an…，对一个任意小的有理数ε，存在一个自然数N(ε)，一般来说，这个自然数很大， 当n，m≥N(ε)时,以下不等式成立，序列中的两个任意有理数差的绝对值满足下面的不等式，
|an- am|< ε
我们用柯西极限理论可以证明，这样一组基本有理数列是收敛的。但它最终收敛于一个有理数还是一个无理数，就取决它自身的性质和结构。即使它收敛于一个无理数，它也满足我们熟悉的加减乘除等各种基本数学运算规则。
例如，人人皆知的欧拉数就是一无理数，它可以用下面简单的基本有理数列求得:
(1+1/n)^n
当n->∞时，这一有理数列就趋近欧拉数e=2.718 281 82……。上面提到的无理数√2，和我们在日常生活中经常用到的圆周率π也同样可以表述成级数列。
魏尔斯特拉斯和康托的定义比较明了易懂。如今，中学生也已经懂得，有理数是有限小数和无穷循环小数，而无理数则是无穷非循环小数。
而戴德金的实数理论则相当晦涩难懂，所以现在实数理论教科书上也很少论及。他采用分割法定义实数，具体的做法是把一组有理数分成两组，R1和R2。然后把R1中的最大数移到R2。把这样的移植不断地进行下去，就会出现R1中没有最大的有理数，而R2中却没有最小的有理数。于是无理数诞生了。
幸运的是，这两种完全不同的实数理论并没有导致不同的结果，不然的话，两种实数理论之间可能会引发长达数百年的喋喋不休地争论。中国学者陈建功在他的著作<<实函数论>>中论证了两种理论实际上是等价的。
很显然，有理数是不完备的，因为它们经过一些基本的数学运算后就有可能逃逸出自己所属的范畴，收敛于一个无理数。但实数理论则是完备的数学理论，因为不论是有理数还是无理数，它们无论通过任何数学计算，包括极限运算，它们最终还是在实数域内回旋。两个多世纪以来，没有人对此提出过任何质疑，实数内部再也无悖论产生。
现在也许有人会好奇地问，无理数究竟有多少，仅仅是√2，√3和√5…那么寥寥几个吗? 可惜两种无理数理论都没有直接给出这一问题的答案。
康托在他创立的集合论框架中，给出了这一问题的答案。他证明了，有理数仅仅是稀稀拉拉地分布在数轴上，而无理数则是稠密地占据着整个数轴，这意味着，无理数比有理数多得多。为了更好地比较这两种数的多寡，他还引进无穷势的概念。我们知道，自然数从0趋于无穷大，有无穷个，有理数是自然数的比，也有无穷个，无理数同样有无穷个。但有理数却是与自然数同一阶的无穷势，因为我们可以在它们之间建立起一一对应的关系，而无理数则是高一阶的无穷势，我们没办法在有理数和无理数之间建立一一对应关系，即使在[0,1]这样的一个小小区间内的无理数都比所有有理数多，因为我们可以在这个区间内建立起与整个数轴一一对应关系，也就是说，区间[0,1]内无理数的无穷势与所有无理数的无穷势是等价的。
既然无理数如此众多，我们要问，无理数还是无理的吗?
所幸我们在日常生活中并不需要直接和那么多的无理数打交道，我们只要在任何无理数的小数点后面取几位有效数字就能够满足我们日常生活和科研生产的需要，否则，面对无穷无尽的无理数小数点后面无穷无尽的数字我们会有无穷无尽的烦恼。
芝诺悖论和无理数悖论引发的数学历史上的第一次危机发生在两千多年前，而第二次危机则爆发于两千多年后的十七世纪微积分诞生以后，也就是说，在这两千多年的历史进程中，数学理论没有取得实质性的进展。
谁创建了微积分? 历史上曾经众说纷纭。在微积分奠基者牛顿(Isaac Newton)和莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz)之间也曾爆发过一场争夺微积分发明权的纷争。不过，现在公认牛顿和莱布尼兹分布独立地在十七世纪后期创立了微积分。
在十七世纪，欧洲各国科学家对天体运动和各类机械运动的认识取得了显著的进步。为了求解这些运动规律，它们的速度，位移以及其他运动量，科学家们对数学工具提出更高的要求。他们必须解决两类问题，在已知速度的前提下求路程，或者在给定路程的条件下求速度。在直线匀速的情况下，这两类问题都可以通过简单的加减乘除得以完美地解决。但在天空中各个行星，恒星的轨道运动，工业生产以及科学研究中各种机械运动几乎都不是直线匀速运动，它们的运动速度随时间在不断地变化。怎么回答物体在某个时间的具体位置，运动速度以及它们以及通过的路程这些问题，就成了困惑当时科学家的头号难题。
所幸的是，在那个年代，法国数学家笛卡尔(René Descartes)已经建立了坐标系概念，并且把变量和函数引入到数学领域。而另一个法国数学家费尔马(Pierre de Fermat)也以提出了切线法来研究极大值和极小值问题，并且把求速度和求路程问题转换成求切线和求面积问题。
正是在这样的基础上，牛顿和莱布尼兹才得以创立了微积分。他们的主要贡献为，把这些运动学问题转换成了两类数学运算方法 :微分法和积分法，有计算微分的明确步骤，并且微分法与积分法是互逆的计算方法。这是在加减乘除后又一对新的互逆计算方法。
我们在高等数学里学到的积分公式就是用莱布尼兹的名字命名的。
微积分理论建立后，迅速得到了广泛的应用，并且解决了许多科学研究中的实际问题。但在推导一些定理和公式中，由于它的理论基础不完善，所以露出许多缺陷，使人们难以理解这些推导过程的逻辑步骤，而这些推导也常常前后矛盾。这些缺陷几乎都来源于一个在那个年代还很神秘的基本概念:无穷小量。
(待续)
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