数学解决
在所有的解决方案中，数学解决是最有效、最成功的。数学解决的成功使得公众产生错觉，认为芝诺悖论提出的问题已经彻底解决，不值得再讨论了。数学解决得以成功，是“极限”得到了精确的定义，在极限基础上定义了无限级数的收敛与发散，以及实无限、实无限基数大小的研究。以下的简单讨论，尽量避免数学公式。有些无法避免，不喜欢的读者可以跳过那些公式而只看结果。
“二分法悖论”，彷佛是运动无法到达某个点，而只能无限接近那个点，也就是说，设长度为1的话，运动只能达到0.999999….., 如下图：
(1)
然而，数学家说，这个无限循环小数就等于1，运动当然可以完成。0.999999… = 1有很多种证明，最简单的就如：
这个证明简单，却不能令人满意，至今怀疑、批评者不断。“二分法悖论”则假设无限二分使得运动无法开始。然而数学上，有公式(3):
无限多的二分项相加，结果是1。
在微积分诞生之前，无法充分说明为什么公式(3)成立。事实上，即使莱布尼兹和牛顿创造了微积分，这个问题还要等到柯西(Augustin-Louis Cauchy，1789-1857)精确定义了极限之后，才能解决。柯西的定义，即极限的Epsilon-Delta定义，为大家所熟知，在此不列出。在极限定义的基础上，定义出无限级数的收敛条件:
有部分和(partial sum)
当 
, 如果部分和有极限S, 则此级数收敛于S。求
(7) 有多种证明方法，此处不列。当n趋于无限大的时候， 
趋于0，显然S趋于1，因此
因此，芝诺悖论(1)、(2)数学上能够得到解决。这是微积分的基础内容。
悖论(3), (4)提出的挑战不同，这两个悖论假定时间以一个个瞬间组成，空间以一个个部分组成，都是非连续的。十九世纪以来的数学，也能够很好地解决这个问题。
首先是在集合论的基础上，函数有了精确的定义。 函数是以序偶(ordered pair)定义的二元关系 <x, y>， 定义为：
(9) 从集合 X 到集合 Y 的函数f是为 X 的每个元素分配唯一元素 Y 的规则。
这个定义简要，易于理解。如果x是X的元素，y是Y的元素，则决定序偶<x, y>上唯一关系的规则f就是一个函数。
基于上述函数的定义，如果运动是时间和位置之间的函数关系，那么运动仅由时间和位置的序偶组成。 运动并不包括在无限小的时间内穿过无限小的距离，只包括在每个给定时刻占据一个独特的位置。 这个概念称为“at-at 运动理论”。 不存在物体如何从一个位置到达另一个位置的问题(Salmon, p.23 )。 罗素说： “当一个物体运动时，我们只能说它在某个时间处于一个地方(本文作者按，即“at某瞬间at某空间”)，在另一个时间处于另一个地方。我们不能说它在下一瞬间会在邻近的地方，因为没有下一瞬间。 …..运动中的物体与静止时的物体一样真实。运动仅仅在于这样一个事实：物体有时在一个地方，有时在另一个地方，并且它们在中间时间处于中间位置。” (Newman, J. R. 1988, p. 1556-1557)
罗素的解释能够反驳芝诺悖论(3)和(4)。 他对悖论(3) 和 (4) 的解决与亚里士多德类似。读者一定已经注意到他这么一句话，“没有下一个瞬间”，这和常识完全相悖。时间如果是连续的，怎么没有下一个瞬间呢？今天过后是明天，三点十五分之后是三点十六分，“下一个瞬间”明明就存在嘛。
这就要说到戴德金、康托尔对实数理论的发展。
在数学上，我们可以用一个数轴来表示一段时间，比如2秒钟，这大家都理解。但这个数轴代表的是自然数、有理数、还是实数？
如果以自然数来表示时间，当然不合理。我们总不能不承认在0秒钟之后就是1秒，否认有0.1，0.2,…, 1.5,1.6…秒存在吧？那就必须以有理数表示，比如, 在0.1, 0.2, 0.5, 0.9秒等等。用有理数来表示，我们可以表达的时间更多了。但是，在两个有理数之间就不存在其他数了吗？当然不是。比如在1.4 到1.5之间，就存在如
这样的数， 
=1.414213…是无限不循环小数，无理数。因此有理数轴同样也不能满足时间测量的要求。如果以一个个点来表示数轴上一个数的位置，那么有理数轴就有很多空缺，仅仅由有理数组成的数轴无法完整、精确地表示一个时间段，否则就得承认时间是不连续的。
如果要用一个数轴来充分表示一个时间段，那么这个数轴必须是一个包括无理数在内的实数轴。而无理数，从毕达哥拉斯以来就被认为是神秘的数。有故事说毕达哥拉斯秘密杀害了发现无理数的人，防止公众知道存在这样一种数。一直到十九世纪戴德金、康托尔等人的研究，实数才有了严格的定义。
1858年，戴德金提出了以分割的方法来构造无理数，即著名的“戴德金分割”(Dedekind cut)，用这种方法填补了数轴上的空缺，从而奠定了实数的基础。康托尔则创建了集合论，提出了实数的一系列性质：可数与不可数(countable vs. uncountable)，势(cardinality)等等。从此“无限”有了精确的定义，学界也不再讨论“潜无限”与“实无限”，代之以“可数无限”和“不可数无限”两个概念。这部分内容比较专业，作者还没有能力用几段文字、简单的语言解释得让非专业读者理解，只有略过。好在这些还只是背景知识，不是理解本文必不可少的部分。有兴趣的读者可参阅下列文献：Hawking (2005, p.901-1040), Stillwell(2013, p.33-35; 57-79)。
这里的关键在于，第一，要完整、精确地用数轴来表示时间，此数轴必须是实数轴。随之而来的问题就出现了：第二，在两个实数之间，存在着无限多的实数。比如说，在1.1和1.2之间，存在1.101,1.1011,1.10111…， 那么，哪个数1.1的直接后继数？ 哪个数是1.2的直接居前数？
根据“戴德金分割”，哪个都不是！因此罗素才说，“没有下一瞬间”，当然也没有“上一瞬间”！实数理论就是at-at理论的基础。
综上所述，19世纪数学的发展，柯西、戴德金、康托尔等人的创造，已经从数学上解决了芝诺悖论提出的挑战。问题是，数学是否能够真实地表达物理实在？
物理解决
如果数学完整、真实地表达了物理世界，那么，既然现代数学已经解决了芝诺悖论，芝诺悖论对经验世界提出的挑战也就已经结束。然而，数学是否完整、真实地表达了物理世界的结构和规律？这是个争论了两千多年，至今还没有解决、分歧很大的问题。
持肯定态度的，如毕达哥拉斯说过，“万物皆数”(All is number)，认为世界的所有结构和现象都可以通过数学关系来理解。那么，数学是否是柏拉图“理型”独立于人类的思维而存在、人类仅仅是“发现”了数学概念和数学定理？
物理学家维格纳(Eugene Wigner, 1902-1995)把数学完美地描绘了物理世界，称为“非理性的有效性”(unreasonable effectiveness，Wigner 1979, p.222-237 )。他指出，数学作为一种抽象的、逻辑严密的系统，似乎与物理世界没有直接的联系。然而，令人惊讶的是，数学却在描述自然现象和自然定律、预测自然界的行为方面极为有效。
这方面众所周知的例子，如微积分在描述运动加速度、预测行星运动上的惊人的准确性。这种现象表明数学不仅仅是人类思维的产物，而且具有深刻的现实基础。这种有效性是否意味着自然界本身具有某种数学结构？或者，这只是人类认知和思维方式的结果？维格纳并没有回答这个问题。
如果说自然界本身具有某种数学结构，一个弱命题，绝大多数人不会反对。很显然，欧氏几何在一定范围之内表征了空间的结构。但如果是一个强命题，认为数学概念和数学定理，在自然界必然存在对应的经验实体，那就要引起多数人的怀疑。比如虚数对应于自然界什么实体？虚数更可能是人创造的一个数学概念，作为抽象工具来解决物理学和工程学中的问题。持这一观点的如克隆内克(Leopold Kronecker，1823-1891)。 他直截了当地说，“仁慈的上帝创造了整数。其余一切都是人的创造物”(Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk)。有物理学家还针锋相对地提出，数学用在经验世界有“合理的无效性”(The reasonable ineffectiveness，Abbott 2013)。Abbott (2013)提出了一些例子，证明数学在解决物理问题上的无效。他的例子过于专业，这里引用非专业的例子来说明这一观点。
数学上简单的加法原则，离开了物或化学，并不总是成立。比如说，n个苹果加上m个橘子，我们有n + m个水果。然而，在n升酒精中加上m升水，得到的液体却不是n + m升(Salmon 2001, p.29);测量以每小时300公里行驶的火车上发出的一束光的速度，不是光速+300公里每小时，仍然是光速。
欧氏几何的线段以无限的点组成，根据欧氏几何的定义，点无广延性，长度为0。无限的0 相加，结果却有了长度。这个问题在数学上有解释(“测度理论”)，却和物理现象不协调。
数学家还创造出一些在经验世界没有严格对应物的形体，如只有一个面、一条边的莫比乌斯带(Möbius strip)，在三位空间中只能近似地构造；只有一个面的封闭曲面，无法在三维空间中实现，除非允许自相交的克莱因瓶(Klein bottle, Nerlich 1994, p.52-53)，等等。这些例子显示出数学更像是人类的创造。这个问题没有结论，我们还是要回到物理自身来考察。
本文曾经说过，芝诺悖论的四个基本问题可以分为两类，问题1，2是一类，说的是如果空间、时间无限可分将要出现的悖论；问题3, 4是另一类，如果空间、时间有最终的、最小的、不可分割的部分，将要出现的悖论。问题5则表示，否认最小单位存在，就无法避免悖论。数学上，如上所述，这些问题都可以解决。物理上呢？我们所处的世界，究竟是连续的还是离散的？具体地说，空间、时间、运动有没有最小的单位？这才是芝诺悖论对人类对实在的认识提出的最严峻的挑战。
依据常识和中学程度的物理学知识，人们往往认为物质有最小的单位，而空间、时间、运动都是连续不可分割的。事实上，古希腊人就猜测物质由最小的原子构成，而经典力学和相对论都坚持空间和时间的连续性。人类对物质最小单位的追求，从原子论，基本粒子理论，一直到当代的弦理论、圈理论，都隐含物质有最小的单位。如果真是如此—人类有可能永远无法得出最终结论 —，那么芝诺悖论5就被彻底解决，因为“物质无限可分”是一个假的命题；《庄子.天下》中说的，“一尺之捶，日取其半，万世不竭”(郭庆藩2004，p.1106)也不成立。“弦无法任意分割；物质不是连续的，它由有限大小的单个‘原子’(本文作者按:这里的‘原子’是比喻，指构成物质的最小单位，不是构成分子、有严格定义的原子)构成”(Rovelli 2017, p.28)
如果认为物质是离散的，那么随之而来的就是，间隔物质最小单位的还是空间吗？如果回答“是”，那就得承认存在真正空无一物的真空 — 如今这一点恐怕难以接受；如果回答是“不是”，那么下一个问题就是，空间是不是连续体？数学上的连续统(continuum)是否与空间连续体(本文作者按：英文也是continuum, 与“连续统”在英文原文中是同一个词，中文中为区别两者才有不同的译名)对应？一直到量子力学诞生，这好像不是问题。但量子力学研究中真的出现了空间不连续的现象。研究“圈理论”的意大利物理学家Rovelli有以下的陈述：
“圈理论的中心预测是，空间不是连续体， 无法任意分割。空间由‘空间原子’构成，‘空间原子’比原子核还要小10亿乘10亿倍。”(Rovelli 2017, p.168)在此无法详述Rovelli的论证， 有兴趣的读者可以读原文。他指出，大数学家黎曼 (Bernhart Riemann，1826-1866)就已经知道，相比较于连续的空间，离散的空间可能更正确(同上，p.168 )这也意味着，空间不是一个容器，而是量子之间相邻关系的构造(the fabric of their neighboring relationship, 同上, p.176)
当代物理学从爱因斯坦以来，已经不再将时间与空间作为互不联系独立研究对象，更常见的是用时-空(spacetime), 将它们作为一个不可分的对象来研究。既然空间可能是离散的，那么时间呢？
如果说时间是离散的，那么离我们的直觉和常识未免太远了：我们什么时候体验到时间中断了？
然而在量子力学研究中，量子跃迁(quantum jump)显示这种空间-时间的不连续确实存在： 量子在被测量之前、之后从一种状态转变到另一状态，是即时、不连续，不确定的(Baggott 2012, p.85)。就如Egginton(2023)比喻的，一个人从纽约到加州，中间没有经过任何地方，而且立刻发生。这一现象及量子力学的哥本哈根解释曾经将坚守时空连续性的物理学家如薛定谔(Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger；1887-1961)逼疯，说“如果我们一定非要那鬼量子跃迁不可，那我后悔参与量子理论。”但现象确确实实存在，如今再无认真、严肃的否认。海森堡说，“老话说，‘自然不跳跃’(Nature makes no jumps), 这句话被用来批评量子理论的基础。对此我回答说，我们的知识当然会突然改变，这一事实证明了使用‘量子跃迁’一词的合理性。”(Heisenberg 2007, p.28)他强调这是“知识”而不是自然本身，因为“基本粒子的客观实在概念并没有蒸发成某种新的、含混不清的实在概念的云雾，而是消失为数学的透明清晰，这种数学表达不再代表粒子的行为，而是代表我们对这种行为的知识。”(Heisenberg 1958, p.100)
对海森堡的这一观点，请不要忽视：Egginton (2023)从芝诺谈到康德，博尔赫斯，海森堡，就围绕着这个话题：我们对经验世界的知识和理念，并非表征或“反映”了经验世界的真实状态，而是我们对经验世界的理解。
认为物质、时空、运动不连续，当然还只是物理学某些学派根据观察到的现象提出的猜想，还远远达不到可以实证的地步，“圈理论”的实验还在设计之中。仅仅由于这种可能性的存在，芝诺悖论在两千多年前对人类认识提出的挑战就还没有得到最终的解答。有些悲观者甚至认为，从数学上回答芝诺悖论的挑战，人类用了两千年；要从物理上彻底解决，还得再用两千年。仅仅从目前物理学的成就来看，回答物质、时空、运动是否连续，是否对应于数学的连续统，就看不到希望。何况，回答是肯定或者否定，还是逃不开悖论(1)，(2)或者(3)，(4)两组不同的挑战：回答是，就得进一步回答悖论(3)，(4)；回答否，就得回答悖论(1)，(2)。相比较之下，如果确定物质有最小单位，悖论(5)倒是可以从物理上一劳永逸地得到解答。
在结束本节之前，还要提到一个在Egginton(2023)中讨论过的、以芝诺命名的物理现象：量子芝诺效应(quantum Zeno effect), 一个不稳定的粒子被持续不断地观察，它将不会衰变， 似乎是被“冻结”在它的已知初始状态。这就如在足够短的时间上，飞箭所占据的空间长度与飞箭自身一样长，因此实际上不动。
上世纪九十年代，美国国家标准局的科学家用铍(beryllium)离子作过实验，证明了量子芝诺悖论存在。他们用射线轰击铍离子, 使其发生跃迁。测量离子的时间间隔越来越短，则发生跃迁的离子则越少。如果持续不断地测量，则一个离子也不会变化(Egginton 2023, p.100)。
这回，运动真的在人的连续测量之下消失了。
余论
希腊人芝诺提出的问题，虽然听起来荒谬，与人所观察到的现象、人的直觉、常识完全对立，历经两千多年，在物理学已经深入到基本粒子、甚至基本粒子的组成部分的年代，仍然无法完全回答，令人惊叹。难怪康德认为，芝诺悖论并不荒谬(Kant 1990, p.284; 中译p.412 )，黑格尔认为康德的“二律背反”没有超出芝诺悖论的范围，罗素认为“芝诺的论点在某种形式上为几乎所有从他的时代到我们这个时代所构建的空间、时间和无限理论提供了基础。”(Russell 1929, 见Salmon 2001, p.45)
芝诺现象发人深省，尤其值得我们这样从小接受中国文化，而且曾经长期生活在中国文化环境中的人思考。
上文指出《庄子.天下篇》也曾在芝诺悖论之后提出过类似的命题。然而，《庄子》的命题本身仅仅是一种信念或者猜想，没有对命题的论证，也没有从命题出发的逻辑推论；命题提出之后，在中国思想史上，没有相应的辩论，更不用说引发对时空、无限等等问题的思考了。我们要问一问为什么，追究一下原因。作者有自己的回答，此处无法做详细展开讨论。概况说几句：这是中国文化最几个显著的特征造成的结果。直接的原因是中国文化的“功利唯一性”特征。中国文化对事物、事件重视的程度，是根据它们与个人、家庭功利的关系来决定的。有利于功利，则非常重视；与功利无关，则漠不关心。
其实，有关“功利性思维”更正确的表述应当是，在世界形形色色的文化中，唯有希腊文化下的社会环境，使得哲学、数学和科学的发展得以可能。还应该说，在希腊社会环境之中，真正认真思考能超出功利之外问题的必然也只是少数人, 大多数人和其他民族的人一样，每天思考的只是柴米油盐。希腊文化例外之处在于，有一批人就脱出了功利性思维，而社会氛围容忍、鼓励了他们的探索，即使他们思考的东西公众不感兴趣，和生活没有联系，和常识对立，和人类的历史经验对立。那样一批人和那种氛围，就是大多数文化，包括中国文化所缺的。
希腊文化能够脱出功利来思考那些不能立即给生活带来直接利益的命题，非常了不起，是人类历史上的例外、异数, 是人类的幸运。这是科学、哲学、数学在希腊奠定了基础的必要条件。
费曼说，“悖论，其实就是实在与我们感觉实在‘应当如此’之间的冲突。”(Feynman, et al 2010; 转引自Egginton 2023 p.94)，芝诺悖论就是在揭示实在和我们理解的实在之间的冲突。我从芝诺悖论开始介绍Egginton(2023)一书的内容与观点，作为理解康德“二律背反的基础，是无法绕开的一步。本文尽力将有关芝诺悖论的讨论通俗化，哪怕付出了牺牲精确性的代价，却仍然没有把握以上的介绍和讨论能够通俗到让非专业读者读懂。如果读者有兴趣进一步深入思考，请阅读本文列出的参考文献。
参考文献：
Abbot, Derek(2013), “The Reasonable Ineffectiveness of Mathematics”. in Proceedings of the IEEE,
Vol. 101, No.10, Oct 2013.
Baggott, Jim (2005), Beyond Measure: Modern Physics, Philosophy, and the meaning of Quantum Theory.
Oxford University Press, Oxford, UK.
Feynman, R., R. Leighton, and M. Sands (2010), The Feynman Lectures on Physics. The Basic Books, New York, NY., USA
Hawking, Stephen (2005), God Created the Integers: the Mathematical Breakthroughs that Changed History.
Running Press, Philadelphia, PA., USA.
Hegel, G. (1892), Lectures on the History of Philosophy, Vol 1. Translated by E. S. Haldane.
Kegan Paul, Trench, Trübner & Co. Ltd., London, UK.
Heisenberg, W. (1958), “The representation of nature in contemporary physics”,
in Daedalus 87(summer), p.95-108.
(2007), Physics and Philosophy: the Revolution in Modern Science.
Harperperennial, New York, NY., USA.
Kant, Immanuel (1990), Critique of Pure Reason. Translated by J.M.D. Meikleijohn.
Prometheus Books. Buffalo, NY., USA.
Nerlich, Graham(1994), The Shape of Space. Cambridge University Press, Cambridge, UK.
Newman, James R. (1988), The World of Mathematics: a Small Library of the Literature of Mathematics from A’h-mose the Scribe to Albert Einstein. Tempus Books of Macrosoft Press, Redmond, WA., USA.
Rovelli, Carlo (2017), Reality Is Not What It Seems: the Journey to Quantum Gravity.
Riverhead Books, New York, NY., USA.
Russell, Bertrand (1929), “The Problem of Infinity Considered Historically”. in Salmon(2001) p.45-58
Salmon, Wesley C. (1970), Zeno’s Paradoxes, Hacken Publishing Company, Inc., Indianapolis, IN., USA.
Stillwell, John(2013), The Real Numbers: An Introduction to Set Theory and Analysis.
Springer Cham, Heidelberg, Germany.
康德(2004) 《纯粹理性批判》。邓晓芒 译，杨祖陶 校译自Immanuel Kant Kritik der reinen Vernunft.
Hrsg. Von Baymund Schimidt, Verlag von Flix Meiner, Hamburg, 1956, Nachdruck 1976, Germany.
人民出版社，北京。
黑格尔(1983), 《哲学史讲演录》第一卷。在贺麟、王太庆译自
G．W．F．Hegel Vorlesungen Über Die Geschichte Der Philosophie, published by Herausgegeben von Hermann Glockner Fr. Frommanns Verlog (H. Kurtz), Stuttgart, Germany, 1928.
商务印书馆，北京。
郭庆藩(2004), 《庄子集释》。中华书局，北京。
2024年七月
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华夏文摘第一七三七期(cm0724c)
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