网友郑力刚先生向CND的网友推荐了一本奇书The Rigor of Angels: Borges, Heisenberg, Kant, and the Ultimate Nature of Reality (《天使的严谨：博尔赫斯、海森堡、康德和实在的终极性质》，Egginton 2023)，作者是霍普金斯大学人文学讲座教授William Egginton。这本书以康德在《纯粹理性批判》中讨论的四个“二律背反”(antinomy)为纲，结合博尔赫斯(Jorge Luis Borges, 1899-1986)小说的情节和海森堡的物理学理论，探讨人类对宇宙实在终极性质的认识问题。这本书思路深刻，对同一问题从哲学、物理学、文艺的不同角来观察和思考，讨论了一个深刻的问题：人类理性至今为止的成就，是否揭示了宇宙实在的真实面目？人类的理性界限何在？
我马上买了这部书，读了两遍。得益于曾经对康德、海森堡的著作稍有涉猎，对全书的理解大致还不会误解或者过于偏颇。力刚先生进一步提出，想让我写一篇介绍文章。一般我弄懂了什么理论，也希望向他人介绍。懂得了某些哲学、科学、数学理论，对非专业的读者来说，知识上的收获是次要的，重要的是从知识中领悟启示。 那些启示有助于我们打破许多被认为是理所当然的信条。 那些信条往往符合常识，因此大多数人没有经过思考、批判就不加怀疑地接受了，也不顾信条之间存在冲突甚至矛盾。对愿意深思、不满足于根据互相冲突的信条生活的人来说，打破那些信条是精神解放，而这种精神解放最重要的结果，就是人生一些根本性矛盾得以解决，从而身心愉悦。自己快乐了，就希望更多的人也快乐。
但这不是一件容易做的事情。我为弄懂那些佶屈聱牙的“天书”，如康德的《纯粹理性批判》(Kant, 1990)，那些难懂的理论，如哥德尔不完备定理，用过多年功夫，读过大量的书。要能够让受过良好教育但从未涉及这些题目的读者大致理解这些理论，就得找到一种合适的方法来介绍。这往往要耗费很长时间的思考和寻找，这也是这些重要的思想、理论至今无法普及到公众的首要原因。比如哥德尔不完备定理，从我自己理解了，到能够以简单、非技术的语言写出一篇介绍性文章，其间经过了有20年以上的时间。
要介绍Egginton这部书，使得公众都能理解，同样也是这样。本书内容太丰富，涉及面太广，需要的预备性知识太多，不是几千字能够概括的。因此我考虑，不如把介绍文章写成一个系列，从基本的预备性知识开始，然后介绍、讨论康德的每个二律背反，或许这样能够有较好的效果。
这项工作，我决定从介绍芝诺悖论(Zeno’s Paradoxes)开始。这是因为这部书要讨论的问题，古希腊的哲学家芝诺(Zeno of Elea，约公元前490-430)就开始了，Egginton(2023)也反复提及这一点。另一方面，我对芝诺悖论有所了解，也读过一些书。2014年我回中国探亲，几所高校请我做讲座。当时我考虑，向高校师生介绍学科知识意义不大，因为这方面的资料很丰富, 大家可以自己去读。中国知识人缺乏的不是知识，缺乏的是思维的兴趣、想象力、思维方法、超越功利的追求。中国文化重常识而轻理论，重实用而轻思辨，能发展出零星的技术而无法发展出科学，是中国文化的根本弊病之一。我讲座的题目是“荒谬中的创造 — 芝诺悖论的科学意义”，向师生介绍了希腊人如何提出问题、思考问题，而这些问题的提出和讨论如何影响到了科学和数学的发展。讲座效果不错，引起了听众的热烈讨论。有一所高校的讲座主持人请我将讲座内容整理成文发表。这多年也没有抽出时间来整理。这次介绍Egginton (2023)，正好就以此开始，也算是对十年前讲座的文本整理。
由于本文篇幅较大，而且不容易理解，需要读者在阅读的同时思考悖论本身及其解决的逻辑。为减轻读者的负担，本文将分为上下两个部分。上篇介绍悖论本身及其实证解决和哲学讨论，下篇介绍悖论的数学解决和物理解决，以及作者本人的一点思考。
芝诺和芝诺悖论
芝诺是古希腊埃利亚(Elea)人，比中国的孔子出生晚六十年左右。传说他是古希腊大哲学家巴门尼德(Parmenides of Elea，约前515— 445年)的学生。他提出了一系列悖论，以证明运动不可能存在。这些悖论最多可能有四十个，多数失传。留存下的有十个左右，其中四个最为重要，自古以来被广泛讨论。
芝诺没有著作流传下来。有关这些悖论的记载，散见于柏拉图的Parmenides(Plato 1996, p.8-12)、亚里士多德的Physics (Aristotle 2018, Book III, VI), 辛普利修斯(Simplicius of Cilicia，约480-560)给亚里士多德Physics注释中(Simplicius 1989, p114-116)。讨论最广的四个悖论中，可以分为两类 — 为什么分为两类，后文会说明。下面逐个介绍那四个悖论：
(1) 二分悖论 (Dichotomy Paradox, 又称Racetrack Paradox, 赛场悖论)
运动是不可能的。因为，运动的物体在到达目的地前必须到达其半路上的点，即从起点到目的地的二分之一；要达到其二分之一，必须先达到二分之一的二分之一，即总长度的四分之一；要达到四分之一则必须先达到八分之一……。这就是说，有限距离包括无穷多点，然而运动的物体无法在有限时间内经过无限多点。
(2) 阿基里斯与乌龟(Achilles and the Tortoise)
阿基里斯是希腊勇士，他跑得快如闪电，而乌龟则爬得非常慢。 然而，当乌龟领先时，阿基里斯永远无法在比赛中超越乌龟。 因为阿基里斯首先要跑到乌龟的起点； 与此同时，乌龟会向前移动。 所以阿基里斯必须跑到乌龟的新位置；与此同时，乌龟又会继续前进。 而阿基里斯永远都会陷入这样的境地。这个悖论的论证思路和二分悖论一样。
(3) 飞箭悖论(Arrow Paradox)
射出的箭在每一瞬间，所占据的空间长度与其自身长度一样。当占据空间的长度与自身长度一样的时候，此物体不动。既然飞箭的每一瞬间都不动，因此射出之后不动。
(4) 运动场悖论 (The Stadium Paradox)
从左边的这一列三行方块，到右边的三行，左边这个图中黄色方块向右移动一块，绿色方块向左移动一块。原来绿色的a在黄色b的右边，右图上却到了黄色的a左边。假设在操场上，在一瞬间(一个最小时间单位)里，相对于白色，列队黄色、绿色将分别各向右和左移动一个距离单位。而此时，对黄色而言绿色却移动了两个距离单位。也就是，队列既可以在一瞬间移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了的。
这四个悖论，前两个对学过微积分的读者来说，早已有了答案；悖论4则要引起讪笑：芝诺不懂得起码的运动相对性原理，胡搅蛮缠啊！
请读者稍安勿躁。如果芝诺这样胡搅蛮缠，就根本不会引起两千多年众多学者的重视，那些悖论根本不会一直讨论到现在还无结论。悖论(4)看似简单，实际上比(1), (2)还麻烦。这个问题是本文“物理学解决”部分的主要问题。
下面这个悖论，不是四个最著名的悖论之一，但意义重大，其内容也是康德的四个二律背反之一：
(5) 复合性悖论(Paradox of Plurality)
如果说物体是复合的，无限可分，则自相矛盾：组成物体的部分或是有大小，或是无大小。如果无大小，则它们组成的物体也无大小；如果有大小，既然物体无限多的部分组成，则所组成的物体无限大。
请注意，这个问题接触到了欧几里得几何的点、线的定义，也非常麻烦。以上5个悖论，请读者首先想一想自己有没有解决方法。这样做有助于理解下面所讨论的各种解决反感。
以上悖论的陈述不是柏拉图或亚里斯多德的原文。作者重新梳理了原文的逻辑，重述以便于理解。
当年我在某高校讲述这(1), (2)两个悖论的时候，听众中有学过数学分析的同学已经耐不住了：这是什么鬼话？数学无穷级数的理论，早就将它们驳得体无完肤了，今天还值得再拿出来说？
情况要比大家想到的复杂。从柏拉图、亚里士多德直到2023年的Egginton(2023)，两千多年来无数的哲学家、数学家、物理学家试图一举驳倒这些悖论，至今尚未完全成功。下面我将从实证、哲学、数学和物理学四种角度，介绍分析历史上对这些悖论的解决。看完了，读者就知道，事情没有那么简单。
首先要指出，正如黑格尔说的，芝诺从来没有想到过要否认运动。他只是指出，运动的观念包含矛盾，因此运动不可能是真正的“存在”(黑格尔1983, p.282)。
实证解决
历史上从未有过任何人接受Zeno的结论。问题是，你必须指出他的论证错在哪儿。希腊哲学家第欧根尼(Diogenes the Cynic, 约前413-323年)听到人们讨论芝诺悖论，一言不发，就走了两步 — 运动明明发生了，实证解决。然而，这类实证解决存在一个问题。
实证检验，即使其结果被各方接受，仍然需要解释，要分析结果数据以理解其含义、限制和影响。第欧根尼一言不发，仅仅能证明运动可能是符合常识的，驳不倒芝诺。因为从他这一行为隐含了一个假设：眼见为实。但“眼见为实”在科学上并不成立。
“眼见为实”不成立，请看下面的例子：
(1) 我们看电影看到的各种东西，人、车辆、飞机……连续运动。但那是假象。如果我们看一看电影胶片，就可以发现胶片中的一幅幅画面都是静止的。只是由于放映的时候，胶片的运动，人脑对外界形象的处理有一种“视觉暂留”机制，使得一个个静止的画面显得是连续的。从这个例子出发，我们怎么能够断定，看似连续的运动，实际上也不过是静止和视觉暂留？
(2) 有一块纯铁块，用手触摸，用眼睛看，是一个完整的、实在的、无空虚的固体。然而，学过原子结构理论的人都知道，组成铁块的铁原子，和其他原子一样，其原子核只有原子体积的几千亿分之一，围绕原子核的电子则只有原子核万分之一大小。 那么原子其余的部分是什么？假设一个原子是一座体育馆，原子核还没有一粒盐大，电子没有一粒灰尘大，我们把这个物体看作是虚空，或者是场不是更加符合常识吗？如果一座体育馆里只有一粒盐、几粒灰尘，我们会说整个体育馆的空间是一个固体吗？如果我们把铁块放大一万亿倍，我们看到的是一个满是空洞的物体。
铁块之所以被看成完整、实在、无虚空，只是我们的视觉、触觉太过粗糙；我们说那个铁块是“固体”，只是说组成铁块的铁原子排列紧密，有固定的形状，占据固定的空间，并不是因为它是实实在在、无空隙的整体。认为它是“无虚空”的整体，是错觉。
说到这里，不禁想起爱因斯坦的名言：所谓常识，不过是人在十八岁之前积累的偏见而已。第欧根尼假设了“眼见为实”，其实证反驳效果不彰。第欧根尼自己也不满足于实证的反驳。当一个学生以为老师已经一举击垮了芝诺时，他斥责学生说，既然用理来辩争，也只能用说理去反驳才有效。人们不能满足感官确信的事物，必须用理解(黑格尔 1983，p.282-283)。
哲学讨论
从柏拉图、亚里士多德到今日的哲学界，很多著名的哲学家都讨论过芝诺悖论。他们之中，有些认为已经一举驳倒了芝诺，有些则认为芝诺提出了有关自然的重要问题，在人类思想史上意义重大。下面列举几位著名哲学家的观点。
需要指出的是，各家在哲学的讨论中，也不可避免地使用数学、物理学论证。因此这种按学科的分类并不严格。
首先是亚里士多德。在Physics中他从多种角度来批判这些悖论。他说，既然芝诺运动要经过的长度无限可分，那么运动的时间也无限可分。“如果时间和量二者中无论哪一个是无限的，那么另一个就也会是无限的，并且，一个在哪方面无限，另一个就也在这方面无限。”在无限可分的时间内走完无限可分的长度，为什么不可能(Aristotle 2018，p.233)？ 这一反驳无效：因为既然某个运动需要无限时间完成，就不存在完成的那一个时间点。因此，芝诺悖论提出的问题在于“在有限的时间内完成长度无限可分的运动。”
那么，在有限的时间内能够通过无限分割的长度吗？亚里士多德认为，芝诺混淆了“实无限”(actual infinity)和“潜无限”(potential infinity) 。物体无限可分是一种潜无限，在实际上并不存在，而芝诺把这种无限可分性当成了实际存在的“实无限”导致了悖论(Aristotle 2018, p.208)。这个“潜无限”的过程不需要完成，也无法完成。
关于“飞箭不动”悖论，他简单地说，时间不是由一个个“一瞬间”组成的, “正如别的量也不是由不可分的部分组成一样”(Aristotle 2018, p.191)他在这里提出了一个重要命题，实际上说的是时间和空间都是不可分的连续体。
亚里士多德区分“实无限”和“潜无限”，一千多年来都被认为是对芝诺悖论的有力反驳而被当成经典。到了近代，由于数学的发展，他的反驳不再成立。
黑格尔借法国哲学家贝尔(Pierre Bayle,1657-1703)之口，嘲笑亚里士多德的“驳斥”是“可怜的”(黑格尔1983，p.284)。贝尔说，“如果物质是可以无限分割的，则它必包含有无限数目的部分。那么它就不是一种潜在的无限，而是一种实在地、实际地存在的无限。”也就是说，贝尔认为，如果根据亚里士多德的论述，就应当存在实无限；亚里士多德否认存在实无限，自相矛盾。
十九世纪戴德金(Richard Dedekind,1831-1916)、康托尔(Georg Cantor，1845-1918)定义了实无限，亚里士多德的反驳就失去了基础。详见下文数学部分的讨论。
黑格尔称赞芝诺是“辩证法的创始者”，“我们在芝诺哲理看到那较高的意识，即一个规定被否定，而这个否定本身又是一个规定”，最后是“两个对立的规定被否定”(黑格尔 1983，p. 273, 277)。他从芝诺悖论里导出了他主张的“否定之否定”。这一分析，我们听起来就会感到很熟悉：
“时间和空间的本质就是运动，因为本质是普遍的；理解运动即是在概念的形式内表达他的本质。运动作为否定性和连续性的统一，是被表达为概念、为思想；但在时空里，连续性以及点积性均不能单纯地认为本质。……假如我们把空间或时间表象为可以无限分割，则我们因而就会得到无限数的点，但里面也同样存在连续性，— 这就是包括无限数点的空间。……运动是作为时空之对立统一的无限者。这两个环节(时空)也同样表现为存在的东西；它们是那样的无区别，以致我们不假定它们为概念，而假定它们为存在。”(同上，p. 286)
佶屈聱牙。但他的意思不难理解：时空是概念而被我们假定为存在。概念中的时空无限可分，但它们仍然是连续的，显示了连续性和间断性的对立统一。总之，在黑格尔看来，芝诺悖论实际上显示了他的哲学主张的对立统一、否定之否定。他进一步指出，康德的二律背反“比起芝诺在这类所业已完成的并没有超出多远。……”“在康德看来，乃是精神的东西摧毁了这个世界。照芝诺看来，这世界、现象界本身就是不真的。”(同上, p.293)
我看不出黑格尔的分析对解决芝诺悖论有任何帮助。 然而，他看出了芝诺悖论想要表达的意图：“这世界、现象界本身就是不真的。”芝诺想表达的，正是Egginton(2023)讨论的内容。
英国物理学家金斯(Sir James Jeans, 1877-1946)受黑格尔影响，认为“阿基里斯悖论”的谬误“……在于这样的假设：量可以被严格地分为有限和非有限 — 换句话说，就是排中律(excluded middle)。” (转引自Salmon 1970，p.17)他的意识是，如果承认量可以既无限又有限，不承认排中律的有效性，则芝诺悖论不能成立。
直觉主义数学学派确实提出过抛弃排中律。但抛弃形式逻辑、不承认排中律， 认为“A并且非A”这样的命题成立，如果被承认没有限制而普遍有效的话，数学上的几乎全部定理都要失效，哲学命题的真伪失去判别标准，现实生活中将没有是非，更不用说我们早已习惯的那种政治人物操纵价值判断：凡是自己的错误都能转化为“成功”，而敌手的成就都将转化为危机。用这类所谓“辩证法”来反驳芝诺悖论，人类无法接受如此巨大的代价。
英国哲学家、数学家怀特海(Alfred North Whitehead, 1861-1947 )认为，物质世界是一个可延伸的时空连续体，但他相信它是以块状形式存在的。这些块要么作为完整的实体而存在，要么根本不存在。它们在概念上可以细分为多个部分，甚至细分为无限多个部分，但这些部分并不代表可以独自形成的实体。生成(become)的行为是一个不可分割的整体；如果你以任何方式细分它，所得到的部分都不是更小的生成行为。芝诺时代数学知识不够，但这些悖论有一个有效的核心(转引自Salmon1970，p. 18)。
柏格森(Henri Bergson，1859-1941)承认生成是连续的，芝诺悖论说明，人的智力无法理运动和变化。他认为通常对物理过程的解释，就像看起来连续电影由大量静止图片组成一样。 但这种这些静态表征串在一起方法，使得我们永远无法掌握运动和变化本身。我们发现自己陷入了荒谬之中：“……运动是由静止构成。”(同上, p.63)。
从以上两节的介绍可以看出，无论是实证还是哲学，都不能有效地驳倒芝诺悖论。那么，数学和物理学的分析结果又如何？这是下篇要讨论的内容。
参考文献：
Aristotle (2018), Physics. Translated with Introduction and Notes by C. D. C. Reeve.
Hackett Publishing Company, Ind. Indianapolis, IN., USA.
Egginton, William(2023), The Rigor of Angels: Borges, Heisenberg, Kant, and the Ultimate Nature of Reality.
Pantheon Books, New York，NY., USA.
Hegel, G. (1892), Lectures on the History of Philosophy, Vol 1. Translated by E. S. Haldane.
Kegan Paul, Trench, Trübner & Co. Ltd., London, UK.
Kant, Immanuel (1990), Critique of Pure Reason. Translated by J.M.D. Meiklejohn.
Prometheus Books. Buffalo, NY., USA.
Plato (1996), Parmenides. Translated by Mary L. Gill & Paul Ryan, introduction by Mary L. Gill.
Hackett Publishing Company, Inc. Indianapolis, IN., USA.
Salmon, Wesley C. (1970), Zeno’s Paradoxes, Hacken Publishing Company, Inc., Indianapolis, IN., USA.
Simplicius (1989), On Aristotle’s Physics 6. Translated and edited by D. Konstan. Gerald Duckworth & Co Ltd.,
New York, NY., USA.
黑格尔(1983), 《哲学史讲演录》第一卷。贺麟、王太庆译自
G．W．F．Hegel Vorlesungen Über Die Geschichte Der Philosophie, published by Herausgegeben von Hermann Glockner Fr. Frommanns Verlog (H. Kurtz), Stuttgart, Germany, 1928.
商务印书馆，北京。
作者投稿
华夏文摘第一七三七期(cm0724c)
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