二、前戏 – Derivatives
谈到任何derivatives，因为是衍生物，不是实在的东西，所以它们都是 zero-sum game，so there is always a winner and a loser for each trade. 期权 (options) 价格仅从数学角度讲就同时受到多个参数的影响，而且敏感度也不一样。首当其冲的是 underlying 的价格，针对股票的期权，underlying 自然就是股票的价格。因为牵扯到未来 cash flow 转换到当前值，interest rates 和 time to expiration 也是影响因子。再有就是作为参照物的 strike price, 亦称为 exercise price。后来option pricing models 又考虑进了 dividend yield (例如，Black-Scholes-Merton Model)。而影响 option price 必不可缺的因素是所谓的 implied volatility. 股价是当前市场的公允的交易价，所以是已知的，进而dividend yield也是可以推出变成已知数。Strike price 是你自由选择，所以也是已知的。Interest rates 和 time to expiration 当然更是已知的。唯一未知的便是至关重要的 implied volatility。正如其名所暗示的，这个 volatility 是implied 的，是看不见的一个东西。所以在现实世界里，traders 的做法是 reverse engineering。 即期权价格就像股价一样，由市场的供求平衡关系决定。一旦 option 价格由市场决定后，再把 underlying (stock) price, strike price, dividend yield, interest rates and time to expiration 代入 (plug in) option pricing model，反向求解出 implied volatility。不同 traders 对 implied volatility 的意见不一样，有人认为算出来的 implied volatility 比他们想象的要低，由于option price 与 implied volatility 是正相关的，underestimated implied volatility implies the market option price is lower than they should be, this option must be cheap. The reverse is also true – higher than expected implied volatility 意味着 the option is overpriced. 此正谓 “beauty is in the eyes of the beholder” 在金融世界的具体应用。当然 options 有不同类型，不同类型要用不同的模型公式去反向计算implied volatility. 这是极其复杂的计算领域，感兴趣的网友可以查看不同的derivatives 方面的书籍，或 google them。咱将来有时间的话可以写一些科普小文加以介绍。
Option prices 对不同因素的敏感程度是必须考虑的。这些个敏感度就是人们通常称的 option Greeks，即人们用些希腊字母来标识这些敏感度测量。这些 Greeks 说穿了就是一堆偏微分公式。首先要考虑的是所谓的 delta。当然，此delta 与当下大家谈虎色变的 coronavirus 的变种delta 毫不相干。这里的 delta 定义为 option price 对每单位underlying price 变化的反应 or 响应 (reaction or response), whatever you prefer to call。通常的options 有两类，call options (看涨期权) and put options (看跌期权). For call options, if the underlying price (S) is above the strike price (K), it’s called in-the-money; if S is in the neighborhood of K, it’s called at-the-money; if S is below the strike price K, it’s called out-of-money. Put options are the opposite, i.e., if S is above K, it’s out-of-money; if S is near K, it’s again called at-the-money; if S is below K, it’s called in-the-money. Most traders are comfortable with call options and think they are intuitive, i.e., expectations are not far off from the reality, hence easy to comprehend. 但是 put options 就有点让人抓头皮。咱这次就碰到put这个不对称的under reacting 的困惑，which surprised and disappointed me a little, hence I decided to exit the trade. 此乃后话，请耐心等待。对于相对简单的 European style options 来说，因为call and put option prices 有解析解，微分起来就容易多了。而且在此情况下，call option delta 与 同样 strike price 的 put option delta 绝对值加起来精确地等于1，这样它们就互成对方的镜像，只是外加一个常数位移。
咱现在用 call options 作为例子来继续侃。对 call options 来说，in-the-money calls 的 delta 通常大于0.5, deep-in-the-money calls, i.e., underlying’s market price is well above the strike price, 其delta 可以爬升到075 quickly, 然后慢慢饱和，趋近于1.0，但达不到1.0，就像任何飞行物or加速的带质量的基本粒子都只能无限接近但不能达到光速一样。At-the-money calls have deltas near 0.5; out-of-money call options have deltas below 0.5. 举例说，如果 delta 等于 0.5，那么，underlying 股价涨 $1, 那么 the call option price will increase by $0.5; if underlying price declines by $1, 那么 the call option price will drop by $0.5, etc. 在 European style option 里call options 的 delta 就是平时大家熟悉的cumulative normal function, 即常见的bell-shaped 正态分布（高斯分布）的积分。当然，用于其中的Black-Scholes formula 采用了一个重要假设，即underlying 的 returns follow log-normal distributions.
好，咱们解决了 delta, 即 option price的一级偏微分问题。现在咱简单地说说二级问题，即 delta 对underlying price 的偏微分，亦即 call option price 对 underlying 的二阶偏微分。这个二阶偏微分称为 Gamma。尽管很少有人重视Gamma，但其效力还是非常强大的。我们时不时地看到股市关市前10几分钟，股市疯涨，扭转几乎一整天的市场下滑，recover almost all its losses in just 10 to 15 minutes。The reverse is also true, by the way. 是什么力量捣的鬼呢？你要是打电话到公司的 trading floor 查询，大部分时间他们会不假思索地回答你：some negative Gamma trades are going on right now，就是在这种情况下，有些机构投资者，为了进行 dynamical hedging，他们必须在关市前 rebalance their trading books to neutralize their risks, so they can go home and have a sound night sleep. 所以，如果你trade options in your personal account, 你最好还是关注一下你的options 的 Gammas. Gamma 的形状极为复杂，稍不留神你就会被使绊子，中计。这次咱做WISH puts trade 时就因为粗枝大叶，导致不爽后果，虽然赚了小钱，但是无论是精神上，还是丢失掉的其他机会，都是得不偿失的。正是这个经历鼓舞了咱写这篇拙文以提醒自己这个教训。具体故事咱后面再讲。
下一个 Greek 是 theta。它是option price 对 time-to-expiration 的偏微分，即敏感度。顺便插一句，此文说的微分无论明确说明与否，指的都是偏微分，这是因为 option price 的整体变化是这些个别因素的贡献的总和，说通俗点，就是每人在互相扯蛋的同时，为集体扯蛋的伟大事业，做出自己应有的贡献。Theta 的 shape 与别的 Greeks 一样奇离古怪的，对 underlying 的响应是咧嘴的微笑状，对 time-to-expiration 本身的响应则是如果剩下的时间还很长，那么 theta 递减的速度就比较慢 (decay nonetheless)，但是随着接近 expiration date, theta 的下降开始加速直至宛如悬崖峭壁般的vertical down，这就是为什么接近 expiration 时, option traders 的行动步伐变得紧锣密鼓，像催命似的。因为 theta 是时间衰变的测量，所以它总是负的，如果掉到悬崖底的极端负值，那么即使你有回天之力也无法力挽狂澜，option 的 time value 丢失得飞快。Expiration day 当日，option value 是以秒钟为单位计算的，所以对时间非常sensitive。
现在要说的下一个Greek是 Rho。它是 option price 对 interest rate 的偏微分。 基本点是，call option price 随 interest rate 升高而增值, put option price随 interest rate 升高而贬值，所以如果把 call options and put options 的价格作为 vertical axis, interest rate 作为 horizontal axis 画在一起，看到的是一个大喇叭状的图画。Rho 的值，无论是对 calls 还是 puts, 都是随underlying 的价格增加而上升的，不同点在于 call option 的 rho 总是正的, 而put options 的 rho 总是负的。Call options and put options 的Rho values 对 time-to-expiration 的响应跟前面说到的对 interest rate 的响应相似，也是大喇叭状的，只是是尖嘴的，不像 interest rate 的情形，在靠嘴的一端切了一刀。
最后该说的 Greek 是 Vega。它是 option price 对 underlying 的 volatility 的敏感度。虽然形状简单，option price 几乎随 volatility 线性变化，但是如果你能精确预测与市场相悖的 (implied) volatility, 那你赚大钱的机会不仅是大大地，更是风险小小地，赢得剪刀差的巨额 risk adjusted 利润。
（未完待续）
Dr_CeeTee, 2021.07.18